高一數(shù)學(xué)教案：《空間圖形的基本關(guān)系與公理》(3)
來(lái)源：網(wǎng)絡(luò)資源 2021-09-10 15:39:52
考點(diǎn)五 共線的判斷與證明：常見(jiàn)題型是三點(diǎn)共線。
例6. 如圖，O1是正方體ABCD-A1B1C1D1的面A1B1C1D1的中心，M是對(duì)角線A1C和截面B1D1A的交點(diǎn)，求證：O1、M、A三點(diǎn)共線。
證明：連結(jié)AC.因?yàn)锳1C1∩B1D1＝O1，B1D1 平面B1D1A，A1C1 AA1C1C，所以O(shè)1∈平面B1D1A且O1∈AA1C1C。同理可知，M∈平面B1D1A且M∈AA1C1C；A∈平面B1D1A且A∈AA1C1C。所以，O1、M、A三點(diǎn)在平面B1D1A和AA1C1C的交線上，故O1、M、A三點(diǎn)共線。
說(shuō)明：證明三線共點(diǎn)問(wèn)題的常見(jiàn)思路是證明第三點(diǎn)在前兩點(diǎn)所確定的直線上；或者證明三點(diǎn)是兩相交平面的公共點(diǎn)，從而在這兩個(gè)平面的交線上。
考點(diǎn)六 共面問(wèn)題的判斷與證明：此類(lèi)題型常見(jiàn)的是四點(diǎn)共面或三線共面，如證明某個(gè)圖形是平面圖形。
例7. 如圖，在空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，G、H分別是BC、CD上的點(diǎn)，且CG＝BC/3，CH＝DC/3。求證：?E、F、G、H四點(diǎn)共面；?直線FH、EG、AC共點(diǎn)。
證明：?如圖，連結(jié)HG，EF。在△ABD中，E、F分別為AB、AD中點(diǎn)，故EF是△ABD的中位線，故EF∥BD。在△CBD中，CG＝BC/3，CH＝DC/3，故GH∥BD，故EF∥GH，從而GH、EF可確定一個(gè)平面，即G、H、E、F四點(diǎn)共面。
由于E、F、G、H四點(diǎn)共面，且FH與EG不平行，故相交，記交點(diǎn)為M，則M∈FH，F(xiàn)H 面ACD，故M∈面ACD；M∈EG，EG 面ABC，故M∈面ABC。從而M是面ACD和面ABC的公共點(diǎn)，由公理3可知，M在這兩個(gè)平面的交線AC上，從而FH、EG、AC三線共點(diǎn)。
說(shuō)明：共面問(wèn)題的常用的處理方法是利用平面的基本性質(zhì)公理2及三個(gè)推論，先證明部分元素確定一個(gè)平面，再證剩下的元素也在此平面上；有時(shí)也可先證部分元素共面，剩下的元素共面，然后證明這兩個(gè)平面重合（此時(shí)也可用反證法）。
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