2019年高考一輪復習數學專練：利用導數證明不等式

　　利用導數證明不等式的常見題型

　　1.  (2017·課標全國III卷理）已知函數 有唯一零點，則 （     ）

　　A．                 B．                     C．                     D．1

　　2.（2016o天津卷文） 已知函數 在R上單調遞減，且關于x的方程 恰有兩個不相等的實數解，則 的取值范圍是_________.

　　3.（2015·北京理）(本題滿分13分) 已知函數 ．

　　(I)求曲線 在點 處的切線方程；

　　(II)求證：當 時， ；

　　(III)設實數 使得 對 恒成立，求 的最大值．

　　4. (2017·課標全國II卷文)(本題滿分12分）設函數f(x)=(1－x2)ex.

　　（1）討論f(x)的單調性；

　　（2）當x 0時，f(x) ax+1，求a的取值范圍.

　　5. （2015·課標全國II卷理）(本題滿分12分) 設函數 .

　　(I)證明： 在 單調遞減，在 單調遞增；

　　(II)若對于任意 ， ，都有 ，求 的取值范圍.

　　6.（2015o山東卷文）(本題滿分13分)設函數 ， ，已知曲線 在點 處的切線與直線 平行.

　　(I)求 的值；

　　(II)是否存在自然數 ，使方程 在 內存在唯一的根？如果存在，求出 ；如果不存在，請說明理由；

　　(III)設函數 表示 ， 中的較小值)，求 的最大值.

　　7.（2015·課標全國Ⅰ卷理）(本題滿分12分)  已知函數 ， .

　　(I)當 為何值時， 軸為曲線 的切線；

　　(II)用 表示 ， 中的最小值，設函數 ，討論 零點的個數.

　　8.（2016·天津理）（本題滿分14分）

　　設函數 ， R，其中 ， R.

　　（Ⅰ）求 的單調區間；

　　（Ⅱ）若 存在極值點 ，且 ，其中 ，求證： ；

　　（Ⅲ）設 ，函數 ，求證： 在區間 上的最大值不小于 .

　　9.（2017·課標全國III卷理）（本題滿分12分）

　　已知函數 ．

　　（1）若 ，求的值；

　　（2）設 為整數，且對于任意正整數， ，求 的最小值．

　　10.（2017·課標全國II卷理）（本題滿分12分）

　　已知函數 且 .

　　（1）求a；

　　（2）證明： 存在唯一的極大值點 ，且 .

　　利用導數證明不等式的常見題型答案

　　1.  (2017·課標全國III卷理）已知函數 有唯一零點，則 （     ）

　　A．                 B．                     C．                     D．1

　　【答案】C

　　【解析】由條件， ，得：

　　∴ ，即 為 的對稱軸，

　　由題意， 有唯一零點，

　　∴ 的零點只能為 ，

　　即 ，解得 ．

　　2.（2016o天津卷文） 已知函數 在R上單調遞減，且關于x的方程 恰有兩個不相等的實數解，則 的取值范圍是_________.

　　【答案】13，23

　　【解析】由函數f(x)在R上單調遞減可得32－2a≥0，0<a<1，3a≥1，解得13≤a≤34.關于x的方程|f(x)|＝2－x3恰有兩個不相等的實數根，即曲線y＝|f(x)|與函數y＝2－x3的圖像恰有兩個交點，則3a<2，a<23.綜上可得a的取值范圍是13≤a<23.

　　【點評】關鍵點撥：注意數形結合思想在解題中的應用，將方程的零點個數轉化為兩個函數圖像的交點個數問題，通過觀察圖像，進而確定不等式，求得參數的取值范圍．

　　測訓診斷：(1)本題難度較大，主要考查函數與方程，考查學生數形結合思想的應用、運算求解能力，意在讓部分學生得分．(2)本題若出錯，一是不能正確地進行轉化；二是運算錯誤；三是不能利用數形結合思想直觀轉化．

　　3.（2015·北京理）(本題滿分13分) 已知函數 ．

　　(I)求曲線 在點 處的切線方程；

　　(II)求證：當 時， ；

　　(III)設實數 使得 對 恒成立，求 的最大值．

　　解：(1)因為f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，所以f ′(x)＝11＋x＋11－x，f ′(0)＝2.

　　又因為f(0)＝0，所以曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為y＝2x.

　　(2)證明：令g(x)＝f(x)－2x＋x33，則g′(x)＝f ′(x)－2(1＋x2)＝2x41－x2.

　　因為g′(x)＞0(0＜x＜1)，所以g(x)在區間(0，1)上單調遞增．

　　所以g(x)＞g(0)＝0，x∈(0，1)，即當x∈(0，1)時，f(x)＞2x＋x33　.

　　(3)由(2)知，當k≤2時，f(x)＞kx＋x33對x∈(0，1)恒成立．

　　當k＞2時，令h(x)＝f(x)－kx＋x33，則h′(x)＝f ′(x)－k(1＋x2)＝kx4－（k－2）1－x2.

　　所以當0＜x＜4k－2k時，h′(x)＜0，因此h(x)在區間0，4k－2k上單調遞減．

　　所以?x0∈(0，1)，h(x0)＜h(0)＝0，即f (x0)＜kx0＋x303.

　　所以當k＞2時，f (x)＞kx＋x33并非對x∈(0，1)恒成立．

　　綜上可知，k的最大值為2.

　　【點評】關鍵點撥：(2)中，證明x∈(0，1)時，f (x)＞2x＋x33，只需構造函數g(x)＝f (x)－2x＋x33，轉化為求函數y＝g(x)的最小值大于0．(3)中可用同樣的方法．

　　刷有所得：(1)比較大小常采用作差法，證明x∈D，f(x)＞g(x)成立，可等價轉化為f(x)－g(x)＞0來證，令h(x)＝f(x)－g(x)，只需證h(x)min＞0.

　　(2)不等式f(x)＞g(x)對x∈D恒成立，求參數a的取值范圍，常采用作差法構造函數求最值，即f(x)－g(x)＞0對x∈D恒成立，令h(x)＝f(x)－g(x)只需求h(x)min＞0時a的取值范圍；也可以采用將參數a與變量x分離，即a＞φ(x)(或a＜φ(x))對x∈D恒成立，只需a＞φ(x)max(或a＜φ(x)min)．

　　測訓診斷：本題難度偏難，主要考查導數的應用，考查學生的運算能力，及轉化與化歸思想．

　　4. (2017·課標全國II卷文)（本題滿分12分） 設函數f(x)=(1－x2)ex.

　　（1）討論f(x)的單調性；

　　（2）當x 0時，f(x) ax+1，求a的取值范圍.

　　解：（1）

　　令 得 ，解得

　　∴ 在區間 是減函數，在區間 是增函數

　　（2）∵ 時， ，∴

　　∴ ，令 ，

　　即 時， ，而 ，∴ ∴ ；

　　再令 ，

　　時， 恒成立. ∴ 在 是增函數，恒有 ，

　　從而 是增函數， ， 在 恒成立，故 即為所求.

　　5. （2015·課標全國II卷理）(本題滿分12分) 設函數 .

　　(I)證明： 在 單調遞減，在 單調遞增；

　　(II)若對于任意 ， ，都有 ，求 的取值范圍.

　　解：(1) 證明：f ′(x)＝m(emx－1)＋2x.

　　若m≥0，則當x∈(－∞，0)時，emx－1≤0，f ′(x)＜0；

　　當x∈(0，＋∞)時，emx－1≥0，f ′(x)＞0.

　　若m＜0，則當x∈(－∞，0)時，emx－1＞0，f ′(x)＜0；

　　當x∈(0，＋∞)時，emx－1＜0，f ′(x)＞0.

　　所以，f(x)在(－∞，0)單調遞減，在(0，＋∞)單調遞增．

　　(2)由(1)知，對任意的m，f(x)在[－1，0]單調遞減，在[0，1]單調遞增，故f(x)在x＝0處取得最小值．

　　所以對于任意x1，x2∈[－1，1]，|f(x1)－f(x2)|≤e－1的充要條件是f（1）－f（0）≤e－1，f（－1）－f（0）≤e－1，

　　即em－m≤e－1，e-m＋m≤e－1.①

　　設函數g(t)＝et－t－e＋1，則g′(t)＝et－1.

　　當t＜0時，g′(t)＜0；

　　當t＞0時，g′(t)＞0.

　　故g(t)在(－∞，0)單調遞減，在(0，＋∞)單調遞增．

　　又g(1)＝0，g(－1)＝e-1＋2－e＜0，故當t∈[－1，1]時，g(t)≤0.

　　當m∈[－1，1]時，g(m)≤0，g(－m)≤0，即①式成立；

　　當m＞1時，由g(t)的單調性，g(m)＞0，即em－m＞e－1；

　　當m＜－1時，g(－m)＞0，即e-m＋m＞e－1.

　　綜上，m的取值范圍是[－1，1]．

　　【點評】關鍵點撥：第一問，雖然含有參數，但是目標是證明單調性，用導數的知識解題，注意分類討論．?x1，x2∈[－1，1]，|f(x1)－f(x2)|≤e－1?x∈[－1，1]時，f(x)max－f(x)min≤e－1，又由第一問，易知f(x)min＝f(0)，f(x)max＝max{f(－1)，f(1)}．

　　得條件?f（－1）－f（0）≤e－1，f（1）－f（0）≤e－1?e-m＋m≤e－1，em－m≤e－1?解不等式em－m≤e－1.可設 g(t)＝et－t，由g(t)的性質解不等式．

　　測訓診斷：本題難度偏難，利用導數證明函數的單調性，求函數的最值是高頻考點，要重點掌握，另注意做題規范，爭取少失分，得滿分．

　　6.（2015o山東卷文）(本題滿分13分)設函數 ， ，已知曲線 在點 處的切線與直線 平行.

　　(I)求 的值；

　　(II)是否存在自然數 ，使方程 在 內存在唯一的根？如果存在，求出 ；如果不存在，請說明理由；

　　(III)設函數 表示 ， 中的較小值)，求 的最大值.

　　解：(1)由題意知，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線斜率為2，

　　所以f ′(1)＝2，又f ′(x)＝ln x＋ax＋1，

　　所以a＝1.

　　(2)k＝1時，方程f(x)＝g(x)在(1，2)內存在唯一的根．

　　設h(x)＝f(x)－g(x)＝(x＋1)ln x－x2ex，

　　當x∈(0，1]時，h(x)＜0.又因為h(2)＝3ln 2－4e2＝ln 8－4e2＞1－1＝0，

　　所以存在x0∈(1，2)，使得h(x0)＝0.又因為h′(x)＝ln x＋1x＋1＋x（x－2）ex，

　　所以當x∈(1，2)時，h′(x)＞1－1e＞0，當x∈(2，＋∞)時，h′(x)＞0，

　　所以，當x∈(1，＋∞)時，h(x)單調遞增．

　　所以k＝1時，方程f(x)＝g(x)在(k，k＋1)內存在唯一的根．