高三模擬文科數學試題之函數及其表示

　　高三模擬文數試題專題函數匯編之函數及其表示含解析

　　一、解答題(本大題共46小題，共552.0分)

　　1.已知函數f（x）=lg（2+x）+lg（2-x）

　　（1）求函數f（x）的定義域；

　　（2）記函數g（x）=10f（x）+2x，求函數g（x）的值域．

　　2.設函數f（x）是增函數，對于任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．

　　（1）求f（0）；

　　（2）證明f（x）奇函數；

　　（3）解不等式 f（x2）-f（x）＞ f（3x）．

　　3.已知實數a＜0，函數 ．

　　（1）設 ，求t的取值范圍；

　　（2）將f（x）表示為t的函數h（t）；

　　（3）若函數f（x）的最大值為g（a），求g（a）．

　　4.已知函數f（x）是定義在[-e，0]∪（0，e]上的奇函數，當x∈[-e，0）時，有f（x）=ax-ln（-x）（其中e為自然對數的底，a∈R）．

　　（1）求函數f（x）的解析式．

　　（2）試問是否存在實數a，使得當x∈（0，e]時，f（x）的最大值是2？如果存在，求出實數a的值；如果不存在，請說明理由．

　　5.已知函數

　　（1）求函數f（x）的定義域．

　　（2）若函數f（x）＜0，求x得取值范圍．

　　6.已知函數f（x）= ，且f（-2）=3，f（-1）=f（1）．

　　（Ⅰ）求f（x）的解析式，并求f（f（-2））的值；

　　（Ⅱ）請在給定的直角坐標系內，利用"描點法"畫出y=f（x）的大致圖象．

　　7.已知函數f（x）= + ，

　　（1）求f（x）的定義域；

　　（2）判斷函數f（x）的奇偶性．

　　8.今有一長2米寬1米的矩形鐵皮，如圖，在四個角上分別截去一個邊長為x米的正方形后，沿虛線折起可做成一個無蓋的長方體形水箱（接口連接問題不考慮）．

　　（Ⅰ）求水箱容積的表達式f（x），并指出函數f（x）的定義域；

　　（Ⅱ）若要使水箱容積不大于4x3立方米的同時，又使得底面積最大，求x的值．

　　9.二次函數f（x）的最小值為1，且f（0）=f（4）=3．

　　（1）求f（x）的解析式；

　　（2）若f（x）在區間[2a，3a+1]上單調，求a的取值范圍．

　　10.函數f（x）是R上的偶函數，且當x＞0時，函數的解析式為f（x）=

　　（1）求f（-1）的值；

　　（2）用定義證明f（x）在（0，+∞）上是減函數；

　　（3）求當x＜0時，函數的解析式．

　　11.已知f（x）的定義域為（0，+∞），且滿足f（4）=1，對任意x1，x2（0，+∞），都有f（x1ox2）=f（x1）+f（x2），當x∈（0，1）時，f（x）＜0．

　　（1）求f（1）；

　　（2）證明f（x）在（0，+∞）上是增函數；

　　（3）解不等式f（3x+1）+f（2x-6）≤3．

　　12.已知函數f（x），g（x）滿足關系g（x）=f（x）of（x+a），其中a是常數．

　　（1）若f（x）=cosx+sinx，且a= ，求g（x）的解析式，并寫出g（x）的遞增區間；

　　（2）設f（x）=2x+ ，若g（x）的最小值為6，求常數a的值．

　　13.已知函數f（x）=xm- ，且f（4）=3．

　　（1）求m的值；

　　（2）求f（x）的奇偶性．

　　14.已知函數f（x）= ．

　　（I）求f（0），f（1）；

　　（II）求f（x）值域．

　　15.某種商品每件進價9元，售價20元，每天可賣出69件．若售價降低，銷售量可以增加，且售價降低x（0≤x≤11）元時，每天多賣出的件數與x2+x成正比．已知商品售價降低3元時，一天可多賣出36件．

　　（Ⅰ）試將該商品一天的銷售利潤表示成x的函數；

　　（Ⅱ）該商品售價為多少元時一天的銷售利潤最大？

　　16.若0滿足f（f（x0）=x0但f（x0）≠x0，則x0為f（x）的階周期點函數有僅有兩個二階周期點，并二階周點，x2；

　　當a= 時，求ff（ ））；

　　對于中x1，2，設（x1f（f（x1），B（x2，f（fx2）））C（a2，，記△ABC面積為s求s區[ ， ]上的大和最小值．

　　17.如圖，△OAB是邊長為2的正三角形，記△OAB位于直線x=t（t＞0）左側的圖形的面積為f（t）．試求函數f（t）的解析式，并畫出函數y=f（t）的圖象．

　　18.已知函數f（x）=loga（x-1），g（x）=loga（6-2x）（a＞0且a≠1）．

　　（1）求函數φ（x）=f（x）+g（x）的定義域；

　　（2）試確定不等式f（x）≤g（x）中x的取值范圍．

　　19.某上市股票在30天內每股的交易價格P（元）與時間t（天）組成有序數對（t，P），點（t，P）落在圖中的兩條線段上（如圖）．該股票在30天內（包括第30天）的日交易量Q（萬股）與時間t（天）的函數關系式為Q=40-t（0≤t≤30且t∈N）．

　　（1）根據提供的圖象，求出該種股票每股的交易價格P（元）與時間t（天）所滿足的函數關系式；

　　（2）用y（萬元）表示該股票日交易額（日交易額=日交易量×每股的交易價格），寫出y關于t的函數關系式，并求出這30天中第幾天日交易額最大，最大值為多少．

　　20.已知y=f（x）是定義在R上的奇函數，且x＜0時，f（x）=1+2x

　　（1）求函數f（x）的解析式；

　　（2）畫出函數f（x）的圖象；

　　（3）寫出函數f（x）單調區間及值域．

　　21.已知函數f（x）= 的定義域為集合A，函數g（x）= 的定義域為集合B．

　　（1）求集合A、B；

　　（2）若A∩B=A，求實數a的取值范圍．

　　22.（理）已知函數f（x）對任意x∈R都有f（x）+f（1-x）=2．

　　（1）求f（ ）和f（ ）+f（ ）（n∈N*）的值；

　　（2）數列f（x）滿足an=f（0）+f（ ）+f（ ）+…+f（ ）+f（1），（n∈N*）求證：數列{an}是等差數列；

　　（3）bn= ，Sn= ，Tn=b12+b22+b32+…+bn2，試比較Tn與Sn的大小．

　　23.已知函數y=f（x）滿足以下條件：①定義在正實數集上；②f（ ）=2；③對任意實數t，都有f（xt）=tof（x）（x∈R+）．

　　（1）求f（1），f（ ）的值；

　　（2）求證：對于任意x，y∈R+，都有f（xoy）=f（x）+f（y）；

　　（3）若不等式f（loga（x-3a）-1）-f（-  ）≥-4對x∈[a+2，a+ ]恒成立，求實數a的取值范圍．

　　24.定義在R上的函數f（x）既是偶函數又是周期函數，若f（x）的最小正周期是π，且當 時，f（x）=sinx

　　（1）求當x∈[-π，0]時f（x）的解析式

　　（2）畫出函數f（x）在[-π，π]上的函數簡圖

　　（3）求當 時，x的取值范圍．

　　25.已知f（x）是二次函數，其函數圖象經過（0，2），y=f（x+1）當x=0時取得最小值1．

　　（1）求f（x）的解析式．

　　（2）求f（x）在[k，k+1]上的最小值．

　　26.已知a∈R，函數f（x）=x|x-a|．

　　（Ⅰ）當a=2時，作出圖形并寫出函數y=f（x）的單調遞增區間；

　　（Ⅱ）當a=-2時，求函數y=f（x）在區間 的值域；

　　（Ⅲ）設a≠0，函數f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，請分別求出m、n的取值范圍（用a表示）．

　　27.設函數f（x）=x+ （x∈（-∞，0）∪（0，+∞））的圖象為c1，c1關于點A（2，1）的對稱圖象為c2，c2對應的函數為g（x）．

　　（1）求函數g（x）的解析式，并確定其定義域；

　　（2）若直線y=b與c2只有一個交點，求b的值，并求出交點坐標．

　　28.定義域為R的函數f（x）滿足：對任意的m，n∈R有f（m+n）=f（m）of（n），且當x≥0時，有0＜f（x）＜1，f（4）= ．

　　（1）求f（0）的值；

　　（2）證明：f（x）＞0在R上恒成立；

　　（3）證明：f（x）在R上是減函數；

　　（4）若x＞0時，不等式f（x+ax）＞f（2+x2）恒成立，求實數a的取值范圍．

　　29.已知：函數f（x）=lg（1-x）+lg（p+x），其中p＞-1

　　（1）求f（x）的定義域；

　　（2）若p=1，當x∈（-a，a]其中a∈（0，1），a是常數時，函數f（x）是否存在最小值，若存在，求出f（x）的最小值；若不存在，請說明理由．

　　30.某房地產公司要在荒地ABCDE上劃出一塊矩形地面DRPQ建造一幢公寓．

　　（Ⅰ）求邊AB所在的直線的方程；

　　（Ⅱ）問如何設計才能使公寓占地面積最大？并求出最大面積．

　　31.已知函數f（x）=log2[1+2x+ao（4x+1）]

　　（1）a=-1時，求函數f（x）定義域；

　　（2）當x∈（-∞，1]時，函數f（x）有意義，求實數a的取值范圍；

　　（3）a=- 時，函數y=f（x）的圖象與y=x+b（0≤x≤1）無交點，求實數b的取值范圍．

　　32.已知f（x）是定義在R上的偶函數，且x≤0時，f（x）=log （-x+1）

　　（1）求f（3）+f（-1）

　　（2）求函數f（x）的解析式；

　　（3）若f（a-1）＜-1，求實數a的取值范圍．

　　33.已知函數f（x）在定義域（0，+∞）上單調遞減，且滿足f（xoy）=f（x）+f（y），f（2）=1，

　　（1）求f（1）的值；

　　（2）解不等式f（-x）+f（3-x）≥2．

　　34.已知y=f（x）是定義在[-6，6]上的奇函數，它在[0，3]上是一次函數，在[3，6]上是二次函數，當x∈[3，6]時，f（x）≤f（5）=3，又f（6）=2．

　　（1）求y=f（x）的解析式；

　　（2）若f（x）-a2-4a≥0恒成立，求a的取值范圍．

　　35.定義域在R的單調函數f（x）滿足f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），且f（3）=6，

　　（Ⅰ）求f（0），f（1）；

　　（Ⅱ）判斷函數f（x）的奇偶性，并證明；

　　（Ⅲ）若對于任意 都有f（kx2）+f（2x-1）＜0成立，求實數k的取值范圍．

　　36.已知函數f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數，且f（xy）=f（x）+f（y），

　　（1）求f（1）的值；

　　（2）若f（ ）=-1，求滿足f（x）-f（ ）≥2的x的取值范圍．

　　37.在邊長為2的正方形ABCD的邊上有動點M，從點B開始，沿折線BCDA向A點運動，設M點運動的距離為x，△ABM的面積為S．

　　（1）求函數S=f（x）的解析式、定義域和值域；

　　（2）求f[f（3）]的值．

　　38.定義在R上的函數f（x）滿足：

　　①f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy；

　　② ．

　　（1）求 的值；

　　（2）若函數g（x）= ，求函數g（x）的最大值．

　　39.已知函數f（x）=|2x|，現將y=f（x）的圖象向右平移一個單位，再向上平移一個單位得到函數h（x）的圖象．

　　（1）求函數h（x）的解析式；

　　（2）函數y=h（x）的圖象與函數g（x）=kx2的圖象在 上至少有一個交點，求實數k的取值范圍．

　　40.函數f（x）對于任意的a，b∈R均有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，且當x＞0時，f（x）＞1成立．

　　（1）求證為R上的增函數；

　　（2）若 對一切滿足 的m恒成立，求實數x的取值范圍．

　　41.已知函數f（x）的定義域為0，1]，且f（x）的圖象連續不間斷．若函數f（x）滿足：對于給定的m （m∈R且0＜m＜1），存在x0∈[0，1-m]，使得f（x0）=f（x0+m），則稱f（x）具有性質P（m）．

　　（1）已知函數f（x）= ，若f（x）具有性質P（m），求m最大值；

　　（2）若函數f（x）滿足f（0）=f（1），求證：對任意k∈N*且k≥2，函數f（x）具有性質P（ ）．

　　42.已知函數f（x）的定義域D?（0，+∞），若f（x）滿足對任意的一個三邊長為a，b，c∈D的三角形，都有f（a），f（b），f（c）也可以成為一個三角形的三邊長，則稱f（x）為"保三角形函數"．

　　（1）判斷g（x）=sinx，x∈（0，π）是否為"保三角形函數"，并說明理由；

　　（2）證明：函數h（x）=lnx，x∈[2，+∞）是"保三角形函數"；

　　（3）若f（x）=sinx，x∈（0，λ）是"保三角形函數"，求實數λ的最大值．

　　43.函數y=a （a∈R），設t= （ ≤t≤2）．

　　（1）試把y表示成關于t的函數m（t）；

　　（2）記函數m（t）的最大值為g（a），求g（a）；

　　（3）當a≥- 時，試求滿足 的所有實數a的值．

　　44.如圖，已知底角為45°角的等腰梯形ABCD，底邊BC長為7cm，腰長為2 cm，當一條垂直于底邊BC（垂足為F）的直線l把梯形ABCD分成兩部分，令BF=x，求左邊部分的面積y關于x的函數解析式，并畫出圖象．

　　45.已知函數f（x）=

　　（1）若m∈（-2，2），求函數y=f（x）的單調區間；

　　（2）若m∈（0， ]，則當x∈[0，m+1]時，函數y=f（x）的圖象是否總在直線y=x上方，請寫出判斷過程．

　　46.已知函數 ．

　　（1）求f（x）的定義域和值域；

　　（2）證明函數 在（0，+∞）上是減函數．

　　【答案】

　　1.解：（1）由題意：函數f（x）=lg（2+x）+lg（2-x）=

　　∴函數f（x）的定義域滿足： ，解得：-2＜x＜2

　　故函數f（x）的定義域為（-2，2）．

　　（2）∵函數g（x）=10f（x）+2x，

　　∴g（x）= +2x= = ，（-2＜x＜2）

　　∵  ，即 ，當且僅當x=1時取等號．

　　根據勾勾函數的性質：可得：函數g（x）在（-2，1）時，是增函數，（1，2）時，是減函數．

　　故得g（x）∈（- ，7]．

　　所以函數g（x）的值域為（- ，7]．

　　2.解：（1）由題設，令x=y=0，

　　恒等式可變為f（0+0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0，

　　（2）令y=-x，則由f（x+y）=f（x）+f（y）得

　　f（0）=0=f（x）+f（-x），即得f（-x）=-f（x），

　　故f（x）是奇函數

　　（3）由 f（x2）-f（x）＞ f（3x），

　　f（x2）-f（3x）＞2f（x），

　　即f（x2）+f（-3x）＞2f（x），

　　又由已知f（x+y）=f（x）+f（y）．

　　得：f[2（x）]=2f（x）

　　∴f（x2-3x）＞f（2x），

　　由函數f（x）是增函數，不等式轉化為x2-3x＞2x．即x2-5x＞0，

　　∴不等式的解集{x|x＜0或x＞5}．

　　3.解：（1）由 得 ，即-1≤x≤1，即函數的定義域[-1，1]．平方得 ，

　　∴t2∈[2，4]，

　　∵t≥0，

　　∴ ，

　　∴t的取值范圍是 ．-----------（4分）

　　（2）由（1）知 ，

　　∴ ， ．-----------（6分）

　　（3） 的對稱軸為 ．

　　①當 即 時， ；

　　②當 即 時， ；

　　③當 即 時，g（a）=h（2）=a+2．

　　綜上可得，函數f（x）的最大值為 ．---（12分）

　　4.解：（1）當x∈（0，e]時，-x∈[-e，0），

　　則f（-x）=a（-x）-lnx，

　　又f（x）是奇函數，故f（x）=-f（-x）=ax+lnx，

　　故f（x）= ；

　　（2）當x∈（0，e]時，f（x）=ax+lnx，

　　f′（x）=a+ = ，

　　①當a≥0時，f′（x）＞0，f（x）在區間（0，e]遞增，

　　故函數f（x）在區間（0，e]上的最大值是f（e）=ae+1=2，

　　故a= ＞0滿足題意；

　　②當- ≥e，即- ≤a＜0時，f′（x）=a+ ≥- + ≥- + =0，

　　故f（x）在（0，e]遞增，

　　此時f（x）在區間（0，e]的最大值是f（e）=ae+1=2，

　　則a= ＞0，不滿足條件= ≤a＜0；

　　③當a＜- 時，可得f（x）在區間（0，- ]遞增，在區間[- ，e]遞減，

　　故x=- 時，f（x）max=f（- ）=-1+ln（- ），

　　令f（- ）=2，得a=- ＞0 ，不滿足條件，

　　綜上a= 時，函數f（x）在區間（0，e]上的最大值是2．

　　5.解：（1）由題意得： ＞0，

　　解得：-1＜x＜1，

　　故函數的定義域是（-1，1）；

　　（2）若函數f（x）＜0，

　　即 ＜0，

　　即0＜ ＜1，

　　解得：0＜x＜1．

　　6.解：（Ⅰ）由f（-2）=3，f（-1）=f（1）得 ，

　　解得a=-1，b=1

　　所以f（x）= ，

　　從而f（f（-2））=f（-（-2）+1）=f（3）=23=8；

　　（Ⅱ）"描點法"作圖：1°列表：

　　x    -2    -1    0    1    2

　　f（x）    3    2    1    2    4

　　2°描點；3°連線

　　f（x）的圖象如右圖所示：

　　7.解：（1）x的取值需滿足2x-1≠0，則x≠0，

　　即f（x）的定義域是（-∞，0）∪（0，+∞）．

　　（2）由（1）知定義域是（-∞，0）∪（0，+∞），關于原點對稱，

　　則f（-x）= + = + ，

　　∴f（x）+f（-x）

　　= + + + = + +1=-1+1=0．

　　∴f（-x）=-f（x），

　　∴函數f（x）為奇函數．