高三模擬文科數學試題之導數及其應用

　　一、解答題(本大題共60小題，共720.0分)

　　1.已知函數f（x）=ex-1+ax，a∈R．

　�。�1）討論函數f（x）的單調區間；

　　（2）若?x∈[1，+∞），f（x）+lnx≥a+1恒成立，求a的取值范圍．

　　2.已知函數f（x）=lnx-kx+k．

　�。á瘢┤鬴（x）≥0有唯一解，求實數k的值；

　�。á颍┳C明：當a≤1時，x（f（x）+kx-k）＜ex-ax2-1．

　　（附：ln2≈0.69，ln3≈1.10， ，e2≈7.39）

　　3.已知函數 ．

　�。�1）求f（x）的極值；

　�。�2）當0＜x＜e時，求證：f（e+x）＞f（e-x）；

　�。�3）設函數f（x）圖象與直線y=m的兩交點分別為A（x1，f（x1）、B（x2，f（x2）），中點橫坐標為x0，證明：f'（x0）＜0．

　　4.已知 的兩個極值點為α，β，記A（α，f（α）），B（β，f（β））

　�。á瘢┤艉瘮礷（x）的零點為γ，證明：α+β=2γ．

　�。á颍� 設點 ，是否存在實數t，對任意m＞0，四邊形ACBD均為平行四邊形．若存在，求出實數t；若不存在，請說明理由．

　　5.已知函數 ，滿足f′（0）=1．

　�。�1）求函數f（x）的單調區間；

　�。�2）若關于x的方程 在[0，2]恰有兩個不同的實根，求實數c的取值范圍．

　　6.設f（x）= -ax-b（a、b∈R，e為自然對數的底數）．

　�。�1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為x+2y+4=0，求a、b的值；

　　（2）當b=1時，若總存在負實數m，使得當x∈（m，0）時，f（x）＜0恒成立，求實數a的取值范圍．

　　7.已知函數 ，g（x）是f（x）的導函數．

　�。�1）若f（x）在 處的切線方程為 ，求a的值；

　　（2）若a≥0且f（x）在x=0時取得最小值，求a的取值范圍．

　　8.已知函數 ．

　　（1）若a=1，求函數f（x）的單調區間；

　　（2）若對任意x≥0都有f（x）≥0恒成立，求實數a的取值范圍．

　　9.函數f（x）=x2-mlnx-nx．

　�。�1）當m=-1時，函數f（x）在定義域內是增函數，求實數n的取值范圍；

　�。�2）當m＞0，n=0時，關于x的方程f（x）=mx有唯一解，求實數m的取值范圍．

　　10.已知函數f（x）=xlnx，e為自然對數的底數．

　�。á瘢┣笄�線y=f（x）在x=e-3處的切線方程；

　�。á颍╆P于x的不等式f（x）≥λ（x-1）在（0，+∞）恒成立，求實數λ的取值范圍．

　　（Ⅲ）關于x的方程f（x）=a有兩個實根x1，x2，求證：|x1-x2|＜ a+1+ ．

　　11.已知函數f（x）=ex-mx2-2x

　　（1）若m=0，討論f（x）的單調性；

　�。�2）若 ，證明：當x∈[0，+∞）時， ．

　　12.已知函數f（x）=ax2ex+blnx，且在P（1，f（1））處的切線方程為（3e-1）x-y+1-2e=0，g（x）=（ -1）ln（x-2）+ +1．

　�。�1）求a，b的值；

　　（2）證明：f（x）的最小值與g（x）的最大值相等．

　　13.已知函數f（x）=ax-e（x+1）lna- （a＞0，且a≠1），e為自然對數的底數．

　�。�1）當a=e時，求函數y=f（x）在區間x∈[0，2]上的最大值

　�。�2）若函數f（x）只有一個零點，求a的值．

　　14.已知函數f（x）=x- -2alnx，（a∈R）

　�。á瘢┊攁= 時，求函數f（x）的單調區間；

　�。á颍┤鬴（x）≥0對任意x∈[1，+∞]恒成立，求實數a的取值范圍．

　　15.已知m為實數，函數f（x）= x3+x2-3x-mx+2，g（x）=f′（x），f′（x）是f（x）的導函數．

　　（1）當m=1時，求f（x）的單調區間；

　�。�2）若g（x）在區間[-1，1]上有零點，求m的取值范圍．

　　16.已知函數f（x）=ax2-（a+2）x+lnx，其中a∈R．

　�。á瘢┊攁=1時，求曲線y=f（x）的點（1，f（1））處的切線方程；

　�。á颍┊攁＞0時，若f（x）在區間[1，e]上的最小值為-2，求a的取值范圍．

　　17.已知函數f（x）=ex-ax-1，（a為實數），g（x）=lnx-x

　�。�1）討論函數f（x）的單調區間；

　　（2）求函數g（x）的極值．

　　18.函數f（x）=2x2-lnx的單調減區間是 ______ ．

　　19.已知函數 ．

　　（1）求函數f（x）的單調區間；

　�。�2）若對任意的m∈[0，2]，不等式f（x）≤（k+1）x，對x∈[1，e]恒成立，求實數k的取值范圍．

　　20.已知函數f（x）= + （1-a2）x2-ax，其中a∈R．

　　（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為8x+y-2=0，求a的值；

　　（2）當a≠0時，求函數f（x）（x＞0）的單調區間與極值；

　�。�3）若a=1，存在實數m，使得方程f（x）=m恰好有三個不同的解，求實數m的取值范圍．

　　21.已知函數f（x）=x2-x，g（x）=ex-ax-1（e為自然對數的底數）．

　�。�1）討論函數g（x）的單調性；

　　（2）當x＞0時，f（x）≤g（x）恒成立，求實數a的取值范圍．

　　22.已知函數f（x）=ln（1+x）-x-ax2，a∈R．

　　（Ⅰ）若函數f（x）在區間 上有單調遞增區間，求實數a的取值范圍；

　�。á颍┳C明不等式： ．

　　23.已知函數f（x）= x2+mx+mlnx

　�。↖）討論函數f（x）的單調性；

　�。á颍┊攎=1時，若方程f（x）= x2+ac在區間[ ，+∞）上有唯一的實數解，求實數a的取值范圍；

　　（III）當m＞0時，若對于區間[1，2]上的任意兩個實數x1，x2，且x1＜x2，都有|f（x1）-f（x2）|＜x22-x12成立，求實數m的最大值．

　　24.已知函數f（x）=x3+ax2+b的圖象上一點P（1，0），且在P點處的切線與直線3x+y=0平行．

　�。�1）求函數f（x）的解析式；

　　（2）求函數f（x）在區間[0，t]（0＜t＜3）上的最大值和最小值；

　�。�3）在（1）的結論下，關于x的方程f（x）=c在區間[1，3]上恰有兩個相異的實根，求實數c

　　的取值范圍．

　　25.已知函數f（x）=x- -alnx（a∈R）．

　�。�1）當a＞0時，討論f（x）的單調區間；

　�。�2）設g（x）=x- lnx，當f（x）有兩個極值點為x1，x2，且x1∈（0，e）時，求g（x1）-g（x2）的最小值．

　　26.已知函數f（x）=x2-2lnx-2ax（a∈R）．

　　（1）當a=0時，求函數f（x）的極值；

　�。�2）當x∈（1，+∞）時，試討論關于x的方程f（x）+ax2=0實數根的個數．

　　27.已知函數f（x）=3x，g（x）=|x+a|-3，其中a∈R．

　�。á瘢┤艉瘮礹（x）=f[g（x）]的圖象關于直線x=2對稱，求a的值；

　�。á颍┙o出函數y=g[f（x）]的零點個數，并說明理由．

　　28.已知函數f（x）= x3-ax2+（a2-1）x+b（a，b∈R）

　　（1）若x=1為f（x）的極值點，求a的值；

　�。�2）若y=f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為x+y-3=0，求f（x）在區間[-2，4]上的最大值與最小值．

　　29.已知函數f（x）=x2+ax-lnx（a∈R，a為常數）

　　（1）當a=-1時，若方程f（x）= 有實根，求b的最小值；

　　（2）設F（x）=f（x）oe-x，若F（x）在區間（0，1]上是單調函數，求a的取值范圍．

　　30.設函數f（x）=ex+sinx（e為自然對數的底數），g（x）=ax，F（x）=f（x）-g（x）．

　�。�1）若x=0是F（x）的極值點，且直線x=t（t≥0）分別與函數f（x）和g（x）的圖象交于P，Q，求P，Q兩點間的最短距離；

　�。�2）若x≥0時，函數y=F（x）的圖象恒在y=F（-x）的圖象上方，求實數a的取值范圍．

　　31.已知函數f（x）=ex-1- ，a∈R．

　�。�1）若函數g（x）=（x-1）f（x）在（0，1）上有且只有一個極值點，求a的范圍；

　�。�2）當a≤-1時，證明：f（x）lnx＞0對于任意x∈（0，1）∪（1，+∞）成立．

　　32.設函數f（x）=x（ex-1）-ax2（e=2.71828…是自然對數的底數）．

　　（1）若 ，求函數f（x）的單調區間；

　�。�2）若f（x）在（-1，0）內無極值，求a的取值范圍；

　�。�3）設n∈N*，x＞0，求證： ．

　　33.已知函數f（x）=ex-ax+a（a∈R），其中e為自然對數的底數．

　�。�1）討論函數y=f（x）的單調性；

　�。�2）函數y=f（x）的圖象與x軸交于A（x1，0），B（x2，0）兩點，x1＜x2，點C在函數y=f（x）的圖象上，且△ABC為等腰直角三角形，記 ，求at-（a+t）的值．

　　34.已知函數f（x）=x2，g（x）=x-1．

　　（1）若存在x∈R，使f（x）＜bog（x），求實數b的取值范圍；

　　（2）設F（x）=f（x）-mg（x）+1-m，若F（x）≥0在區間[2，5]上恒成立，求實數m的取值范圍．

　　35.已知函數f（x）=ax2-bx+lnx，（a，b∈R）．

　　（1）若a=1，b=3，求函數f（x）的單調遞增區間；

　�。�2）若b=0時，不等式f（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，求實數a的取值范圍；

　�。�3）當a=1，b＞ 時，記函數f（x）的導函數f'（x）的兩個零點是x1，x2（x1＜x2），求證：f（x1）-f（x2）＞ -3ln2．

　　36.已知函數f（x）=2x3-3ax2，a∈R．

　�。�1）若a=2，求曲線f（x）在x=1處的切線方程；

　�。�2）對任意的x1∈[0，2]，總存在x2∈[0，1]，使得f（x1）≥f'（x2）（其中f'（x）為函數f（x）的導數）成立，求實數a的取值范圍．

　　37.已知函數f（x）= ．

　�。�1）若函數f（x）在x=1時取得極值，求實數a的值；

　�。�2）若函數f（x）在區間[2，4]上是單調遞增函數，求實數a的取值范圍．

　　38.已知a為實數，且函數f（x）=（x2-4）（x-a），f'（-1）=0．

　�。�1）求函數f（x）的單調區間；

　　（2）求函數f（x）在[-2，2]上的最大值、最小值．

　　39.已知f（x）=2xlnx，g（x）=x3+ax2-x+2．

　�。�1）如果函數g（x）的單調遞減區間為 ，求函數g（x）的解析式；

　　（2）在（1）的條件下，求函數y=g（x）的圖象在點P（-1，g（-1））處的切線方程；

　　（3）已知不等式f（x）≤g'（x）+2恒成立，若方程aea-m=0恰有兩個不等實根，求m的取值范圍．

　　40.已知函數f（x）=eax+bx（a＜0）在點（0，f（0））處的切線方程為y=5x+1，且f（1）+f'（1）=12．

　�。á瘢┣蠛瘮祔=f（x）的極值；

　　（Ⅱ）若f（x）＞x2+3在x∈[1，m]上恒成立，求正整數m的最大值．

　　41.設 ，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x+y+1=0垂直．

　　（1）求a的值；

　�。�2）若對于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x-1）恒成立，求m的取值范圍．

　　42.已知函數f（x）=lnx+a（x2-3x+2），其中a為參數．

　�。�1）當a=0時，求函數f（x）在x=1處的切線方程；

　　（2）討論函數f（x）極值點的個數，并說明理由；

　　（3）若對任意x∈[1，+∞），f（x）≥0恒成立，求實數a的取值范圍．

　　43.已知函數f（x）=ex-ax+a（a∈R），其中e為自然對數的底數．

　�。�1）討論函數y=f（x）的單調性；

　　（2）若函數f（x）有兩個零點x1，x2，證明：x1+x2＜2lna．

　　44.設函數f（x）=x- ，g（x）=lnx．

　�。á瘢┣蠛瘮祔=2f（x）-5g（x）的單調區間；

　�。á颍┯涍^函數y=f（x）-mg（x）兩個極值點A，B的直線的斜率為h（m），問函數y=h（m）+2m-2是否存在零點，請說明理由．

　　45.設函數f（x）=x2-alnx-（a-2）x

　�。á瘢┣蠛瘮礷（x）的單調區間；

　�。á颍┤艉瘮礷（x）有兩個零點x1，x2，求滿足條件的最小正整數a的值．

　　46.定義在R上的函數f（x）= x3+cx+3（c為常數），f（x）在x=0處的切線與直線y=x+2垂直．

　�。�1）求函數y=f（x）的解析式；

　　（2）設g（x）=4lnx-f′（x），（其中f′（x）是函數f（x）的導函數），求g（x）的極值．

　　47.設函數f（x）=ex+sinx（e為自然對數的底數），g（x）=ax，F（x）=f（x）-g（x）．

　�。�1）若a=2，且直線x=t（t≥0）分別與函數f（x）和g（x）的圖象交于P，Q，求P，Q兩點間的最短距離；

　�。�2）若x≥0時，函數y=F（x）的圖象恒在y=F（-x）的圖象上方，求實數a的取值范圍．

　　48.設函數f（x）= +lnx，g（x）=x3-x2-3．

　�。�1）函數f（x）在區間[1，+∞）上是單調函數，求實數a的取值范圍；

　�。�2）若存在x1，x2∈[- ，3]，使得g（x1）-g（x2）≥M成立，求滿足條件的最大整數M；

　�。�3）如果對任意的s，t∈[ ，2]都有sf（s）≥g（t）成立，求實數a的范圍．

　　49.已知函數f（x）= x2-ax+（3-a）lnx，a∈R．

　�。�1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線2x-y+1=0垂直，求a的值；

　�。�2）設f（x）有兩個極值點x1，x2，且x1＜x2，求證：-5-f（x1）＜f（x2）＜- ．

　　50.已知函數f（x）=ax2+x+a，g（x）=ex

　�。á瘢┖瘮礷（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線與2x+y-1=0平行，求實數a的值；

　�。á颍┰Oh（x）= ，當x∈[0，2]時， ≥ 恒成立，求實數a的取值范圍．

　　51.函數f（x）=lnx- ．

　　（1）當a=-2時，求f（x）的最小值；

　　（2）若f（x）在[1，e]上的最小值為 ，求a的值．

　　52.設函數f（x）=2x3+3ax2+3bx+c在x=1及x=2時取得極值．

　�。�1）求a，b的值；

　　（2）若f（x）在[-1，2]上的最大值是9，求f（x）在[-1，2]上的最小值．

　　53.已知函數 ， ．

　　（1）當a＜1時，求函數f（x）的單調區間；

　　（2）當 時，函數f（x）在（0，2]上的最大值為M，若存在x∈[1，2]，使得g（x）≥M成立，求實數b的取值范圍．

　　54.已知 ，求與直線y=-2x-4垂直的切線方程．

　　55.已知y=f（x）是二次函數，方程f（0）=1，且f′（x）=2x+2

　�。�1）求f（x）的解析式．

　　（2）求函數y=f（x）與y=-x2-4x+1所圍成的圖形的面積．

　　56.已知函數f（x）=2x+ -alnx，（a∈R）．

　�。á瘢┊攁=1時，求f（x）的單調區間；

　�。á颍┰Og（x）=f（x）-x- +2alnx，且g（x）有兩個極值點x1，x2，其中x1＜x2，若g（x1）-g（x2）＞t恒成立，求t的取值范圍．

　　57.已知f（x）=lnx+ ．

　�。�1）求f（x）的單調區間和極值；

　�。�2）若對任意x＞0，均有x（2lna-lnx）≤a恒成立，求正數a的取值范圍．

　　58.已知函數f（x）= x2，g（x）=elnx

　　（1）設函數F（x）=f（x）-g（x），求F（x）的單調區間并求最小值；

　　（2）若存在常數k，m，使得f（x）≥kx+m對x∈R恒成立，且g（x）≤kx+m對x∈（0，+∞）恒成立，則稱直線y=kx+m為函數f（x）與g（x）的"分界線"，試問：f（x）與g（x）是否存在"分界線"？若存在，求出"分界線"的方程，若不存在，請說明理由．

　　59.已知函數 ．

　�。�1）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；

　　（2）討論函數f（x）的單調區間．

　　60.已知函數f（x）=ax3-x+1的圖象在點（1，f（1））處的切線過點（2，3）．

　�。�1）求a的值；

　�。�2）求函數f（x）的極值．

　　【答案】

　　1.解：（1）f′（x）=ex-1+a，

　　（i）a≥0時，f′（x）＞0，f（x）在R遞增；

　�。╥i）a＜0時，令f′（x）=0，解得：x=ln（-a）+1，

　　故x＞ln（-a）+1時，f（x）遞增，x＜ln（-a）+1時，f（x）遞減；

　　綜上，a≥0時，f（x）在R遞增；

　　a＜0時，f（x）在（ln（-a）+1，+∞）遞增，在（-∞，ln（-a）+1）時遞減；

　�。�2）令a=-1，由（1）得f（x）的最小值是f（1）=0，

　　故ex-1-x≥0，即ex-1≥x，

　　f（x）+lnx≥a+1恒成立與f（x）+lnx-a-1≥0恒成立等價，

　　令g（x）=f（x）+lnx-a-1，

　　即g（x）=ex-1+a（x-1）+lnx-1，（x≥1），

　　則g′（x）=ex-1+ +a，

　　①a≥-2時，g′（x）=ex-1+ +a≥x+ +a +a=a+2≥0，

　　∴g′（x）≥0，g（x）在[1，+∞）遞增，

　　故g（x）≥g（1）=0，

　　故f（x）+lnx≥a+1恒成立；

　　②a＜-2時，令h（x）=ex-1+ +a，則h′（x）= ，

　　x≥1時，h′（x）≥0，h（x）遞增，

　　又h（1）=2+a＜0，h（1-a）=e1-a-1+ +a≥1-a+ +a=1+ ＞0，

　　∴存在x0∈（1，1-a），使得h（x0）=0，

　　故x∈（1，x0）時，h（x）＜h（x0）=0，即g′（x）＜0，

　　故函數g（x）在（1，x0）遞減，x∈（x0，+∞）時，h（x）＞h（x0）=0，

　　即g′（x）＞0，故函數g（x）在（x0，+∞）遞增，

　　∴g（x）min=g（x0）＜g（1）=0，

　　即?x∈[1，+∞），f（x）+lnx≥a+1不恒成立，

　　綜上，a的范圍是[-2，+∞）．

　　2.解法一：（Ⅰ）函數f（x）的定義域為（0，+∞）．

　　要使f（x）≥0有唯一解，只需滿足f（x）max=0，且f（x）max=0的解唯一，（1分） ，（2分）

　　①當k≤0時，f'（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上單調遞增，且f（1）=0，

　　所以f（x）≥0的解集為[1，+∞），不符合題意；　（4分）

　�、诋攌＞0時，且 時，f'（x）≥0，f（x）單調遞增；當 時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減，所以f（x）有唯一的一個最大值為 ，

　　令 ，得k=1，此時f（x）有唯一的一個最大值為f（1），且f（1）=0，故f（x）≥0的解集是{1}，符合題意；

　　綜上，可得k=1．（6分）

　�。á颍┮�證當a≤1時，x（f（x）+kx-k）＜ex-ax2-1，

　　即證當a≤1時，ex-ax2-xlnx-1＞0，

　　即證ex-x2-xlnx-1＞0．（7分）

　　由（Ⅰ）得，當k=1時，f（x）≤0，即lnx≤x-1，從而xlnx≤x（x-1），

　　故只需證ex-2x2+x-1＞0，當x＞0時成立；　（8分）

　　令h（x）=ex-2x2+x-1（x≥0），則h'（x）=ex-4x+1，（9分）

　　令F（x）=h'（x），則F'（x）=ex-4，令F'（x）=0，得x=2ln2．

　　因為F'（x）單調遞增，所以當x∈（0，2ln2]時，F'（x）≤0，F（x）單調遞減，即h'（x）單調遞減，當x∈（2ln2，+∞）時，F'（x）＞0，F（x）單調遞增，即h'（x）單調遞增，

　　所以h'（ln4）=5-8ln2＜0，h'（0）=2＞0，h'（2）=e2-8+1＞0，

　　由零點存在定理，可知?x1∈（0，2ln2），?x2∈（2ln2，2），使得h'（x1）=h'（x2）=0，

　　故當0＜x＜x1或x＞x2時，h'（x）＞0，h（x）單調遞增；當x1＜x＜x2時，h'（x）＜0，h（x）單調遞減，所以h（x）的最小值是h（0）=0或h（x2）．

　　由h'（x2）=0，得 ，h（x2）= ，

　　因為x2∈（2ln2，2），所以h（x2）＞0，

　　故當x＞0時，h（x）＞0，所以原不等式成立．（12分）

　　解法二：（Ⅰ）函數f（x）的定義域為（0，+∞）. ，（1分）

　�、佼攌≤0時，f'（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上單調遞增，且f（1）=0，所以f（x）≥0的解為[1，+∞），此時不符合題意；　（2分）

　　②當k＞0時， ，

　　所以當 時，f'（x）≥0，f（x）單調遞增；當 時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減，所以 ， ，（3分）

　　令g（k）=k-lnk-1， ，（4分）

　　當k∈（0，1]時，g'（k）≤0，g（k）單調遞減，當k∈（1，+∞）時，g'（k）＞0，g（k）單調遞增，所以g（k）≥g（1）=0，由此可得當k＞0且k≠1時， ，

　　且當x→0+，x→+∞時，f（x）→-∞，由零點存在定理， ，

　　使得f（x1）=f（x2）=0，當x1≤x≤x2時，f（x）≥0，解集不唯一，不符合題意；

　　當k=1時，f（x）≤f（1）=0，所以f（x）≥0的解集是{1}，符合題意；

　　綜上可得，當k=1時，f（x）≥0有唯一解；�。�6分）

　�。á颍┮�證明當a≤1時，x（f（x）+kx-k）＜ex-ax2-1，

　　即證當a≤1時，ex-ax2-xlnx-1＞0，（因為ax2≤x2）

　　即證ex-x2-xlnx-1＞0，（7分）

　　令F（x）=ex-x2-xlnx-1（x＞0），則F'（x）=ex-2x-lnx-1，（8分）

　　令G（x）=F'（x），則 在（0，+∞）上單調遞增，且G'（1）＜0，G'（2）＞0，

　　所以?x0∈（1，2）使得G'（x0）=0，即 ，

　　所以當x＞x0時，G'（x）＞0，G（x）單調遞增，即F'（x）遞增；

　　當0＜x＜x0時，G'（x）＜0，G（x）單調遞減，即F'（x）遞減，

　　所以 ， ，

　　當x∈（1，2）時遞減，F'（x0）min＜H（1）=0，

　　當x→0時，F'（x）→+∞， ，

　　由零點存在定理，可得?x1∈（0，x0）， ，F'（x1）=F'（x2）=0，

　　故當0＜x＜x1或x＞x2時，F'（x）＞0，F（x）單調遞增，

　　當x1＜x＜x2時，F'（x）＜0，F（x）單調遞減，

　　當x→0+時，F（x）→0，由F'（x2）=0得， ， ，

　　又F（x2）= ，

　　令M（x）=-x2+2x+lnx-xlnx（ ），

　　則 在 遞減，且M'（1）=0，所以M'（x）＜0，

　　所以M（x）在 遞減， ，

　　所以當 ，M（x）＞0，即F（x2）＞0，

　　所以F（x）＞0，即原不等式成立．（12分）