2025年高考高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)大全

　　高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

　　一、平面的基本性質(zhì)與推論

　　1、平面的基本性質(zhì)：

　　公理1如果一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)；

　　公理2過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；

　　公理3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線。

　　2、空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系：

　　直線與直線—平行、相交、異面；

　　直線與平面—平行、相交、直線屬于該平面（線在面內(nèi)，最易忽視）；

　　平面與平面—平行、相交。

　　3、異面直線：

　　平面外一點(diǎn)A與平面一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點(diǎn)B的直線是異面直線（判定）；

　　所成的角范圍（0，90）度（平移法，作平行線相交得到夾角或其補(bǔ)角）；

　　兩條直線不是異面直線，則兩條直線平行或相交（反證）；

　　異面直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi)。

　　求異面直線所成的角：平移法，把異面問題轉(zhuǎn)化為相交直線的夾角

　　二、空間中的平行關(guān)系

　　1、直線與平面平行（核心）

　　定義：直線和平面沒有公共點(diǎn)

　　判定：不在一個(gè)平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線平行于此平面（由線線平行得出）

　　性質(zhì)：一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，則這條直線就和兩平面的交線平行

　　2、平面與平面平行

　　定義：兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)

　　判定：一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行

　　性質(zhì)：兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面；如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。

　　3、常利用三角形中位線、平行四邊形對(duì)邊、已知直線作一平面找其交線

　　三、空間中的垂直關(guān)系

　　1、直線與平面垂直

　　定義：直線與平面內(nèi)任意一條直線都垂直

　　判定：如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交的直線都垂直，則該直線與此平面垂直

　　性質(zhì)：垂直于同一直線的兩平面平行

　　推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面

　　直線和平面所成的角：【0，90】度，平面內(nèi)的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影說成的銳角，特別規(guī)定垂直90度，在平面內(nèi)或者平行0度

　　2、平面與平面垂直

　　定義：兩個(gè)平面所成的二面角（從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形）是直二面角（二面角的平面角：以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線所成的角）

　　判定：一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直

　　性質(zhì)：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直

　　四、導(dǎo)數(shù)

　　（一）導(dǎo)數(shù)第一定義

　　設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x0處有增量△x(x0+△x也在該鄰域內(nèi))時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)取得增量△y=f(x0+△x)-f(x0);如果△y與△x之比當(dāng)△x→0時(shí)極限存在，則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并稱這個(gè)極限值為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)記為f(x0),即導(dǎo)數(shù)第一定義

　　(二)導(dǎo)數(shù)第二定義

　　設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x0處有變化△x(x-x0也在該鄰域內(nèi))時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)變化△y=f(x)-f(x0);如果△y與△x之比當(dāng)△x→0時(shí)極限存在，則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并稱這個(gè)極限值為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)記為f(x0),即導(dǎo)數(shù)第二定義

　　(三)導(dǎo)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

　　如果函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間I內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo)。這時(shí)函數(shù)y=f(x)對(duì)于區(qū)間I內(nèi)的每一個(gè)確定的x值，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)，這就構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，稱這個(gè)函數(shù)為原來函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)，記作y,f(x),dy/dx,df(x)/dx。導(dǎo)函數(shù)簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)。

　　(四)單調(diào)性及其應(yīng)用

　　1.利用導(dǎo)數(shù)研究多項(xiàng)式函數(shù)單調(diào)性的一般步驟

　　(1)求f(x)

　　(2)確定f(x)在(a，b)內(nèi)符號(hào)(3)若f(x)>0在(a，b)上恒成立，則f(x)在(a，b)上是增函數(shù);若f(x)<0在(a，b)上恒成立，則f(x)在(a，b)上是減函數(shù)

　　2.用導(dǎo)數(shù)求多項(xiàng)式函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟

　　(1)求f(x)

　　(2)f(x)>0的解集與定義域的交集的對(duì)應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間;f(x)<0的解集與定義域的交集的對(duì)應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間

　　學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)，接下來可以學(xué)習(xí)高二數(shù)學(xué)中涉及到的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的部分。

　　五、高中數(shù)列基本公式：

　　1、一般數(shù)列的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系：an=

　　2、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an=a1+(n-1)dan=ak+(n-k)d(其中a1為首項(xiàng)、ak為已知的第k項(xiàng))當(dāng)d≠0時(shí)，an是關(guān)于n的一次式;當(dāng)d=0時(shí)，an是一個(gè)常數(shù)。

　　3、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式

　　當(dāng)d≠0時(shí)，Sn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項(xiàng)為0;當(dāng)d=0時(shí)(a1≠0)，Sn=na1是關(guān)于n的正比例式。

　　4、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：an=a1qn-1an=akqn-k

　　(其中a1為首項(xiàng)、ak為已知的第k項(xiàng)，an≠0)

　　5、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na1(是關(guān)于n的正比例式);

　　六、高中數(shù)學(xué)中有關(guān)等差、等比數(shù)列的結(jié)論

　　1、等差數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m、……仍為等差數(shù)列。

　　2、等差數(shù)列{an}中，若m+n=p+q，則

　　3、等比數(shù)列{an}中，若m+n=p+q，則

　　4、等比數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m、……仍為等比數(shù)列。

　　5、兩個(gè)等差數(shù)列{an}與{bn}的和差的數(shù)列{an+bn}、{an-bn}仍為等差數(shù)列。

　　6、兩個(gè)等比數(shù)列{an}與{bn}的積、商、倒數(shù)組成的數(shù)列仍為等比數(shù)列。

　　7、等差數(shù)列{an}的任意等距離的項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列仍為等差數(shù)列。

　　8、等比數(shù)列{an}的任意等距離的項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列仍為等比數(shù)列。

　　9、三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列的設(shè)法：a-d,a,a+d;四個(gè)數(shù)成等差的設(shè)法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d

　　10、三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列的設(shè)法：a/q,a,aq;

　　四個(gè)數(shù)成等比的錯(cuò)誤設(shè)法：a/q3,a/q,aq,aq3

　　七、集合有關(guān)概念

　　1、集合的含義：某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合，其中每一個(gè)對(duì)象叫元素。

　　2、集合的中元素的三個(gè)特性：元素的確定性；元素的互異性；元素的無序性.

　　3、集合的表示：

　　(1)如{我校的籃球隊(duì)員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

　　(2).用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊(duì)員},B={1,2,3,4,5}

　　4、集合的表示方法：列舉法與描述法。

　　常用數(shù)集及其記法：非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作：N正整數(shù)集N*或N+整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實(shí)數(shù)集R

　　5.關(guān)于“屬于”的概念

　　集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就說a屬于集合A記作a∈A，相反，a不屬于集合A記作a?A

　　列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，然后用一個(gè)大括號(hào)括上。

　　描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法。用確定的條件表示某些對(duì)象是否屬于這個(gè)集合的方法。

　　6、集合的分類：

　　(1)有限集含有有限個(gè)元素的集合

　　(2)無限集含有無限個(gè)元素的集合

　　(3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝=Φ

　　八、集合間的基本關(guān)系

　　1.“包含”關(guān)系—子集注意：A?B有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。反之:集?B或B??A合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作A?

　　2．“相等”關(guān)系:對(duì)于兩個(gè)集合A與B，如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí),集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B，即：A=B

　�、偃魏我粋�(gè)集合是它本身的子集。即A?A

　�、谌绻鸄?B,且A?B那就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)

　�、廴绻鸄?B,B?C,那么A?C

　�、苋绻鸄?B同時(shí)B?A那么A=B

　　3.不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ

　　規(guī)定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。三、集合的運(yùn)算

　　1．交集的定義：一般地，由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集．

　　記作A∩B(讀作＂A交B＂)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．

　　2、并集的定義：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩�合B的元素所組成的集合，叫做A,B的并集。記作：A∪B(讀作＂A并B＂)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．

　　3、交集與并集的性質(zhì)：A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A，A∪A=A,

　　A∪φ=A,A∪B=B∪A.

　　4、全集與補(bǔ)集

　　（1）補(bǔ)集：設(shè)S是一個(gè)集合，A是S的一個(gè)子集（即A?S），由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補(bǔ)集（或余集）記作：CSA即CSA={x?x?S且x?A}

　　（2）全集：如果集合S含有我們所要研究的各個(gè)集合的全部元素，看作一個(gè)全集。通常用U來表示。

　　（3）性質(zhì)：⑴CU(CUA)=A⑵(CUA)∩A=Φ⑶(CUA)∪A=U

　　九、函數(shù)的有關(guān)概念

　　合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)．記作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．

　　能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域，求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要依據(jù)是：

　　(1)分式的分母不等于零；

　　(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零；

　　(3)對(duì)數(shù)式的真數(shù)必須大于零；

　　(4)指數(shù)、對(duì)數(shù)式的底必須大于零且不等于1

　　(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.

　　2.構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域

　　再注意：

　　（1）由于值域是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，即稱這兩個(gè)函數(shù)相等（或?yàn)橥�一函�?shù)）

　�。�2）兩個(gè)函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)。

　　相同函數(shù)的判斷方法：

　�、俦磉_(dá)式相同；

　　②定義域一致(兩點(diǎn)必須同時(shí)具備)

　　3．區(qū)間的概念

　�。�1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；

　　（2）無窮區(qū)間；

　　（3）區(qū)間的`數(shù)軸表示

　　4．映射一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng)f：A?B為從集合A到集合B的一個(gè)映射。記作“f：A?B”

　　給定一個(gè)集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b對(duì)應(yīng)，那么，我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象

　　說明：函數(shù)是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對(duì)應(yīng)，①集合A、B及對(duì)應(yīng)法則f是確定的；②對(duì)應(yīng)法則有“方向性”，即強(qiáng)調(diào)從集合A到集合B的對(duì)應(yīng)，它與從B到A的對(duì)應(yīng)關(guān)系一般是不同的；③對(duì)于映射f：A→B來說，則應(yīng)滿足：（Ⅰ）集合A中的每一個(gè)元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中對(duì)應(yīng)的象可以是同一個(gè)；（Ⅲ）不要求集合B中的每一個(gè)元素在集合A中都有原象。

　　5.常用的函數(shù)表示法:解析法：圖象法：列表法：

　　6.分段函數(shù)在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。

　�。�1）分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，不要把它誤認(rèn)為是幾個(gè)函數(shù)；

　�。�2）分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集

　　7．函數(shù)單調(diào)性

　　（1）．設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1

　　如果對(duì)于區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，當(dāng)x1

　　注意：函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；

　�。�2）圖象的特點(diǎn)如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.(3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法

　　(A)定義法：○1任取x1，x2∈D，且x1

　　8．函數(shù)的奇偶性

　�。�1）一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數(shù)．

　�。�2）．一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函數(shù)．

　　注意：○1函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；函數(shù)可能沒有奇偶性,也可能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。

　　2由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件是，對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，○則－x也一定是定義域內(nèi)的一個(gè)自變量（即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）

　　（3）具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征

　　偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．

　　總結(jié)：利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：○1首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；○2確定f(－x)與f(x)的關(guān)系；○3作出相應(yīng)結(jié)論：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，則f(x)是偶函數(shù)；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，則f(x)是奇函數(shù)．9、函數(shù)的解析表達(dá)式

　　（1）.函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系時(shí)，一是要求出它們之間的對(duì)應(yīng)法則，二是要求出函數(shù)的定義域.

　　（2）.求函數(shù)的解析式的主要方法有：待定系數(shù)法、換元法、消參法等，如果已知函數(shù)解析式的構(gòu)造時(shí)，可用待定系數(shù)法；已知復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的表達(dá)式時(shí)，可用換元法，這時(shí)要注意元的取值范圍；當(dāng)已知表達(dá)式較簡(jiǎn)單時(shí)，也可用湊配法；若已知抽象函數(shù)表達(dá)式，則常用解方程組消參的方法求出f(x)。

　　補(bǔ)充不等式的解法與二次函數(shù)（方程）的性質(zhì)

　　軌跡，包含兩個(gè)方面的問題：凡在軌跡上的點(diǎn)都符合給定的條件，這叫做軌跡的純粹性（也叫做必要性）；凡不在軌跡上的點(diǎn)都不符合給定的條件，也就是符合給定條件的點(diǎn)必在軌跡上，這叫做軌跡的完備性（也叫做充分性）。

　　十、求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的基本步驟。

　　1、建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)；

　　2、寫出點(diǎn)M的集合；

　　3、列出方程=0；

　　4、化簡(jiǎn)方程為最簡(jiǎn)形式；

　　5、檢驗(yàn)。

　　十一、求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的常用方法：求軌跡方程的方法有多種，常用的有直譯法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法和交軌法等。

　　1、直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡(jiǎn)后即得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法通常叫做直譯法。

　　2、定義法：如果能夠確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程，這種求軌跡方程的方法叫做定義法。

　　3、相關(guān)點(diǎn)法：用動(dòng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)x，y表示相關(guān)點(diǎn)P的坐標(biāo)x0、y0，然后代入點(diǎn)P的坐標(biāo)（x0，y0）所滿足的曲線方程，整理化簡(jiǎn)便得到動(dòng)點(diǎn)Q軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做相關(guān)點(diǎn)法。

　　4、參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x、y之間的直接關(guān)系難以找到時(shí)，往往先尋找x、y與某一變數(shù)t的關(guān)系，得再消去參變數(shù)t，得到方程，即為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做參數(shù)法。

　　5、交軌法：將兩動(dòng)曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做交軌法。

　　求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的一般步驟：

　　①建系——建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；

　�、谠O(shè)點(diǎn)——設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)P（x，y）；

　�、哿惺�——列出動(dòng)點(diǎn)p所滿足的關(guān)系式；

　�、艽鷵Q——依條件的特點(diǎn)，選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于X，Y的方程式，并化簡(jiǎn)；

　�、葑C明——證明所求方程即為符合條件的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程。

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