2025年高考數(shù)學(xué)極限重點知識點

　　高考復(fù)習(xí)已經(jīng)開始，小編在此為大家整理了極限重點知識點，供大家參考，希望對高考生有所幫助。預(yù)祝大家取得理想的成績!

　　考試內(nèi)容：教學(xué)歸納法，數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用，數(shù)列的極限.

　　函數(shù)的極限.根限的四則運算.函數(shù)的連續(xù)性.

　　考試要求：

　　(1)理解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題.

　　(2)了解數(shù)列極限和函數(shù)極限的概念.

　　(3)掌握極限的四則運算法則;會求某些數(shù)列與函數(shù)的極限.

　　(4)了解函數(shù)連續(xù)的意義，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有最大值和最小值的性質(zhì).

　　§13. 極 限 知識要點

　　1. ⑴第一數(shù)學(xué)歸納法：①證明當(dāng) 取第一個 時結(jié)論正確;②假設(shè)當(dāng) ( )時，結(jié)論正確，證明當(dāng) 時，結(jié)論成立.

　　⑵第二數(shù)學(xué)歸納法：設(shè) 是一個與正整數(shù) 有關(guān)的命題，如果

　　①當(dāng) ( )時， 成立;

　　②假設(shè)當(dāng) ( )時， 成立，推得 時， 也成立.

　　那么，根據(jù)①②對一切自然數(shù) 時， 都成立.

　　2. ⑴數(shù)列極限的表示方法：

　　①

　　②當(dāng) 時， .

　　⑵幾個常用極限：

　　① ( 為常數(shù))

　　②

　　③對于任意實常數(shù)，

　　當(dāng) 時，

　　當(dāng) 時，若a = 1，則 ;若 ，則 不存在

　　當(dāng) 時， 不存在

　　⑶數(shù)列極限的四則運算法則：

　　如果 ，那么

　　①

　　②

　　③

　　特別地，如果C是常數(shù)，那么

　　.

　　⑷數(shù)列極限的應(yīng)用：

　　求無窮數(shù)列的各項和，特別地，當(dāng) 時，無窮等比數(shù)列的各項和為 .

　　(化循環(huán)小數(shù)為分?jǐn)?shù)方法同上式)

　　注：并不是每一個無窮數(shù)列都有極限.

　　

       3. 函數(shù)極限;

　　⑴當(dāng)自變量 無限趨近于常數(shù) (但不等于 )時，如果函數(shù) 無限趨進(jìn)于一個常數(shù) ，就是說當(dāng) 趨近于 時，函數(shù) 的極限為 .記作 或當(dāng) 時， .

　　注：當(dāng) 時， 是否存在極限與 在 處是否定義無關(guān)，因為 并不要求 .(當(dāng)然， 在 是否有定義也與 在 處是否存在極限無關(guān). 函數(shù) 在 有定義是 存在的既不充分又不必要條件.)

　　如 在 處無定義，但 存在，因為在 處左右極限均等于零.

　　⑵函數(shù)極限的四則運算法則：

　　如果 ，那么

　　①

　　②

　　③

　　特別地，如果C是常數(shù)，那么

　　.

　　( )

　　注：①各個函數(shù)的極限都應(yīng)存在.

　　②四則運算法則可推廣到任意有限個極限的情況，但不能推廣到無限個情況.

　　⑶幾個常用極限：

　　①

　　② (0< <1); ( >1)

　　③

　　④ ， ( )

　　4. 函數(shù)的連續(xù)性：

　　⑴如果函數(shù)f(x)，g(x)在某一點 連續(xù)，那么函數(shù) 在點 處都連續(xù).

　　⑵函數(shù)f(x)在點 處連續(xù)必須滿足三個條件：

　　①函數(shù)f(x)在點 處有定義;② 存在;③函數(shù)f(x)在點 處的極限值等于該點的函數(shù)值，即 .

　　⑶函數(shù)f(x)在點 處不連續(xù)(間斷)的判定：

　　如果函數(shù)f(x)在點 處有下列三種情況之一時，則稱 為函數(shù)f(x)的不連續(xù)點.

　　①f(x)在點 處沒有定義，即 不存在;② 不存在;③ 存在，但 .

　　5. 零點定理，介值定理，夾逼定理：

　　⑴零點定理：設(shè)函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù)，且 .那么在開區(qū)間 內(nèi)至少有函數(shù) 的一個零點，即至少有一點 ( < < )使 .

　　⑵介值定理：設(shè)函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點取不同函數(shù)值， ，那么對于 之間任意的一個數(shù) ，在開區(qū)間 內(nèi)至少有一點 ，使得 ( < < ).

　　⑶夾逼定理：設(shè)當(dāng) 時，有 ≤ ≤ ，且 ，則必有

　　注： ：表示以 為的極限，則 就無限趨近于零.( 為最小整數(shù))

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