2025年高考數學極限重點知識點

　　高考復習已經開始，小編在此為大家整理了極限重點知識點，供大家參考，希望對高考生有所幫助。預祝大家取得理想的成績!

　　考試內容：教學歸納法，數學歸納法應用，數列的極限.

　　函數的極限.根限的四則運算.函數的連續性.

　　考試要求：

　　(1)理解數學歸納法的原理，能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題.

　　(2)了解數列極限和函數極限的概念.

　　(3)掌握極限的四則運算法則;會求某些數列與函數的極限.

　　(4)了解函數連續的意義，了解閉區間上連續函數有最大值和最小值的性質.

　　§13. 極 限 知識要點

　　1. ⑴第一數學歸納法：①證明當 取第一個 時結論正確;②假設當 ( )時，結論正確，證明當 時，結論成立.

　　⑵第二數學歸納法：設 是一個與正整數 有關的命題，如果

　　①當 ( )時， 成立;

　　②假設當 ( )時， 成立，推得 時， 也成立.

　　那么，根據①②對一切自然數 時， 都成立.

　　2. ⑴數列極限的表示方法：

　　①

　　②當 時， .

　　⑵幾個常用極限：

　　① ( 為常數)

　　②

　　③對于任意實常數，

　　當 時，

　　當 時，若a = 1，則 ;若 ，則 不存在

　　當 時， 不存在

　　⑶數列極限的四則運算法則：

　　如果 ，那么

　　①

　　②

　　③

　　特別地，如果C是常數，那么

　　.

　　⑷數列極限的應用：

　　求無窮數列的各項和，特別地，當 時，無窮等比數列的各項和為 .

　　(化循環小數為分數方法同上式)

　　注：并不是每一個無窮數列都有極限.

　　

       3. 函數極限;

　　⑴當自變量 無限趨近于常數 (但不等于 )時，如果函數 無限趨進于一個常數 ，就是說當 趨近于 時，函數 的極限為 .記作 或當 時， .

　　注：當 時， 是否存在極限與 在 處是否定義無關，因為 并不要求 .(當然， 在 是否有定義也與 在 處是否存在極限無關. 函數 在 有定義是 存在的既不充分又不必要條件.)

　　如 在 處無定義，但 存在，因為在 處左右極限均等于零.

　　⑵函數極限的四則運算法則：

　　如果 ，那么

　　①

　　②

　　③

　　特別地，如果C是常數，那么

　　.

　　( )

　　注：①各個函數的極限都應存在.

　　②四則運算法則可推廣到任意有限個極限的情況，但不能推廣到無限個情況.

　　⑶幾個常用極限：

　　①

　　② (0< <1); ( >1)

　　③

　　④ ， ( )

　　4. 函數的連續性：

　　⑴如果函數f(x)，g(x)在某一點 連續，那么函數 在點 處都連續.

　　⑵函數f(x)在點 處連續必須滿足三個條件：

　　①函數f(x)在點 處有定義;② 存在;③函數f(x)在點 處的極限值等于該點的函數值，即 .

　　⑶函數f(x)在點 處不連續(間斷)的判定：

　　如果函數f(x)在點 處有下列三種情況之一時，則稱 為函數f(x)的不連續點.

　　①f(x)在點 處沒有定義，即 不存在;② 不存在;③ 存在，但 .

　　5. 零點定理，介值定理，夾逼定理：

　　⑴零點定理：設函數 在閉區間 上連續，且 .那么在開區間 內至少有函數 的一個零點，即至少有一點 ( < < )使 .

　　⑵介值定理：設函數 在閉區間 上連續，且在這區間的端點取不同函數值， ，那么對于 之間任意的一個數 ，在開區間 內至少有一點 ，使得 ( < < ).

　　⑶夾逼定理：設當 時，有 ≤ ≤ ，且 ，則必有

　　注： ：表示以 為的極限，則 就無限趨近于零.( 為最小整數)

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