2025年高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用必考知識點(diǎn)

　　高考復(fù)習(xí)最忌心浮氣躁，急于求成。指導(dǎo)復(fù)習(xí)的教師，應(yīng)給學(xué)生一種樂觀、鎮(zhèn)定、自信的精神面貌。要扎扎實(shí)實(shí)地復(fù)習(xí)，一步一步地前進(jìn)，下文為大家準(zhǔn)備了數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用必考知識點(diǎn)的內(nèi)容。

　　一、函數(shù)的單調(diào)性

　　在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)函數(shù)f(x)，f′(x)在(a，b)任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0.

　　f′(x)≥0?f(x)在(a，b)上為增函數(shù).

　　f′(x)≤0?f(x)在(a，b)上為減函數(shù).

　　1、f′(x)>0與f(x)為增函數(shù)的關(guān)系：f′(x)>0能推出f(x)為增函數(shù)，但反之不一定.如函數(shù)f(x)=x3在(-∞，+∞)上單調(diào)遞增，但f′(x)≥0，所以f′(x)>0是f(x)為增函數(shù)的充分

　　不必要條件.

　　2、可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必須是導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，即f′(x0)=0是可導(dǎo)函數(shù)f(x)在x=x0處取得極值的必要不充分條件.例如函數(shù)y=x3在x=0處有y′|x=0=0，但x=0不是極值點(diǎn).此外，函數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是函數(shù)的極值點(diǎn).

　　3、可導(dǎo)函數(shù)的極值表示函數(shù)在一點(diǎn)附近的情況，是在局部對函數(shù)值的比較;函數(shù)的最值是表示函數(shù)在一個區(qū)間上的情況，是對函數(shù)在整個區(qū)間上的函數(shù)值的比較.

　　二、函數(shù)的極值

　　1、函數(shù)的極小值：

　　函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x=a附近其它點(diǎn)的函數(shù)值都小，f′(a)=0，而且在點(diǎn)x=a附近的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0，則點(diǎn)a叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值.

　　2、函數(shù)的極大值：

　　函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x=b附近的其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f′(b)=0，而且在點(diǎn)x=b附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0，則點(diǎn)b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值.

　　極小值點(diǎn)，極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值.

　　三、函數(shù)的最值

　　1、在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值.

　　2、

　　若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值;若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值.

　　四、求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法

　　1、確定函數(shù)f(x)的定義域;

　　2、求f′(x)，令f′(x)=0，求出它在定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)根;

　　3、把函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)(即f(x)的無定義點(diǎn))的橫坐標(biāo)和上面的各實(shí)數(shù)根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點(diǎn)把函數(shù)f(x)的定義區(qū)間分成若干個小區(qū)間;

　　4、確定f′(x)在各個開區(qū)間內(nèi)的符號，根據(jù)f′(x)的符號判定函數(shù)f(x)在每個相應(yīng)小開區(qū)間內(nèi)的增減性.

　　五、求函數(shù)極值的步驟

　　1、確定函數(shù)的定義域;

　　2、求方程f′(x)=0的根;

　　3、用方程f′(x)=0的根順次將函數(shù)的定義域分成若干個小開區(qū)間，并形成表格;

　　4、由f′(x)=0根的兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號來判斷f′(x)在這個根處取極值的情況.

　　六、求函數(shù)f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟

　　1、求函數(shù)在(a，b)內(nèi)的極值;

　　2、求函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f(a)，f(b);

　　3、將函數(shù)f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.

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