數學專項輔導：集合大小定義的基本要求(3)
2011-09-27 11:17:22搜狐教育專區
所謂的結構，就是在元素間增加聯系，使得它們不能隨便亂動。建筑工地上搭的腳手架就是一種結構，上面的鋼管啊鐵絲啊木板啊都不是隨隨便便堆在一起的，而是按照一定的方式聯系在一起。修建完了一幢大樓后，工人們會把它們都拆下來再拿到另一個工地上去安裝使用，雖然構成腳手架的元素——鋼管鐵絲木板還是原來的那些，但是腳手架卻完全是另一個了，變化了的其實是結構。
數學結構也一樣。比如說上面我們講的序關系，就是元素之間的一種聯系。我們可以很方便地驗證自然數的大小滿足我們前面所說的偏序關系的三個條件，而且每兩個自然數之間都可以比較大小，所以在自然數集合上有一個全序關系，這個關系就給了自然數集合一個結構，就叫序結構。你可以把擁有全序結構的自然數集合仍舊想像成上面那個裝了球的袋子，只是這時候那些球已經被從小到大串成了一串，不能隨便亂跑了。平時我們想像自然數集合，可能會把它想成數軸上離原點越來越遠的一串點，或者1、2、3、……這樣從小到大的一列數，不知不覺地，我們已經把序結構想像進去了。當我們感到“正偶數的個數應該是自然數個數的一半，因為每隔一個數就有一個是偶數”，我們是在想像那條串成一串的球，偶數球得老老實實地和奇數球一個隔一個地串在一起，而不是雜亂無章放在袋里，后面這種情況是談不上“每隔一個”的。
在考慮到自然數的序結構后，我們就可以給“自然數的個數是正偶數的個數的兩倍”這種直覺一個合理的解釋了。考慮小于100的正偶數，一共有49個，所以占小于100的自然數的49/99，接近1/2;如果把“小于100”改成“小于1000”，那么結果是499/999，更接近1/2了;把上面的100和1000換成越來越大的數字，我們會發現正偶數所占的比例會越來越接近1/2。這就提示我們可以采用這樣一種關于自然數的子集的大小的定義：如果A是自然數的一個子集，令p(n)為A中小于n的元素的個數，我們稱limn→∞p(n)/n(就是當n趨向無窮大時，p(n)/n的極限)為A相對于自然數集合的大小。在這個定義下，正偶數集合相對于自然數集合的大小就是1/2。按照這樣的定義，素數集合相對于自然數集合的大小是0，這也就是所謂的“幾乎所有的自然數都不是素數”。用上面這個方法還可以比較兩個自然數集合的子集的相對大小，具體方法就由讀者自己來思考了。
如果沒有自然數序結構這個“背景”，我們就只能夠使用一一對應的方法來討論集合的基數，那種“自然數的個數是正偶數的個數的兩倍”的直覺只是一種錯覺。比如說考慮下面平面圖上，所有(2n,n)這樣的點所組成的集合(其中n是自然數)。如果站在x軸的角度來看，我們發現每隔一列就有一個點，而列數顯然和自然數一樣多，所以點數就該和正偶數一樣多;如果站在y軸的角度來看，我們發現每行都有一個點，而行數也和自然數一樣多，所以點數就該和自然數一樣多。按照集合基數的觀點，自然數和正偶數一樣多，上面這種情況完全不造成矛盾，但是“直覺”所給予的一會兒“一樣多”一會兒“兩倍”的印象，就沒有太大的意義了(最多得到“兩倍的無窮大等于無窮大”這種我們按照一一對應原則早已熟知，而且解釋得更好的觀點)。
除了序結構外，還有其他的數學結構。法國著名的布爾巴基學派就認為數學基于三種母結構：序結構、代數結構和拓撲結構，各種數學結構可以混雜在一起得出不同的數學對象，比如說實數集上有比較大小的序結構，還有由算術運算(加和乘，減和除是它們的逆運算)定義的代數結構，以及由極限理論(它規定了某些點必須在另一些點的“附近”)定義的拓撲結構。布爾巴基學派試圖用結構主義的觀點來統一數學，出版了著名的《數學原理》。結構主義的觀點大致來說，就是數學結構決定數學對象。兩個分別定義在兩個不同集合上的數學對象，如果它們的數學結構相同，那么即使集合中的元素很不相同，它們其實也是同一個數學對象。在數學中我們有時會碰到“同構”這個詞，就是指在某種一一映射下，兩個數學對象的數學結構相同。
舉一個簡單的例子。中學里我們學過復數和它的幾何表示法，知道每個復數都可以對應到直角坐標平面上的一個點，而復數的加法和乘法也都有各自的幾何意義。在這里，一個復數是a+bi這樣的一對數，還是平面上的一個點(a,b)并不是關鍵，盡管一對數和一個點是完全不同的兩樣東西，只要在實數對集合和平面點集上面由加法和乘法決定代數結構是相同的，它們都可稱作是復數，是同一個數學對象。相反地，如果我們在平面上定義另一種乘法為(a1, b1)*(a2, b2)=((a1*a2, b1*b2)，那么盡管平面上的點仍舊是那些，但是因為在上面所定義的數學結構變了，于是就完全是兩種不同的數學對象了。
象上面這樣的例子中數學結構的相同當然很直觀，而有一些此類問題則牽涉到極其深刻的數學理論，比如說著名的龐加萊猜想(新千年的七大數學問題之一，價值百萬美金:-))就是問，是否任意閉單連通3維流形都同胚于3維球，換句話說，是否給定了“閉單連通”這個條件，在3維流形上就只能有一種拓撲結構，也就是3維球的拓撲結構?另外，證明兩個原來似乎沒有關系的數學對象的數學結構其實是相同的，意義非常重大，這樣的定理是連通兩個數學領域的橋梁。這意味著這兩個數學對象其實是同一種東西，對于其中一個數學對象成立的理論，可以立刻應用在另一個上面;以往用來研究一種數學對象的方法，就可以被用來研究另一類數學對象。本文開頭說到英國數學家懷爾斯證明了費爾馬大定理，他證明的其實是更一般的“谷山-志村猜想”。這個猜想就是此類意義重大的命題，它溝通了兩個數學領域：橢圓曲線和模形式。它的證明被稱為是“人類智慧的凱歌”。
最后舉個搞笑的例子。網上有人發現了下面兩張圖片，左邊是變形金剛的電影招貼，右邊是藍貓的廣告，構成畫面的元素不同，一個是機器人，一個是藍貓和它的朋友，但是擺的“甫士”和畫面結構卻相同，也算是個不光彩的“同構”例子吧。
“一個平面上的點應該比一條直線上的點的個數多”這樣的直覺也可以用附加的數學結構來解釋合理性。當我們想像直線或平面上的點時，我們不但想像了那些點集，同時也在想像著這些點集構成的直線和平面，于是它們就再不是那些集合中散亂的點了，它們的排列非常有規律。換句話說，我們在點集上增加了決定直線和平面的數學結構。如果我們把直線和平面看作是實數域上的線性空間(關于線性空間的理論是線性代數，所有理科的學生會在大學一年級學習)，我們就遇見了一些數學結構：首先我們需要一個實數域，上面有一個域的代數結構，其次我們在直線和平面的點集上定義了一個交換群的代數結構，最后在實數域和交換群上定義了稱作“數乘”的代數結構，這個代數結構同域和交換群上的各種運算都兼容，這樣我們最終得到了這個被稱為“實數域上的線性空間”的代數結構。上面這一串話也許有點復雜，但是中心思想就是上面所說的結構主義的思想：數學對象是由各種數學結構混雜在一起(當然要合理地混雜在一起，上面所說的“兼容”就是這個意思)而得到的。一旦我們這樣規定了線性空間的結構，我們就可以定義線性空間的維數，這時我們可以說，兩維的線性空間(平面)在這種意義下要比一維的線性空間(直線)大。
從上面兩個例子我們看到，當集合中的元素只是被看做一個沒有任何數學結構的集合中散亂的元素時，我們只能用一一對應的方法來比較集合的大小;而當豐富多彩的數學結構被加在集合上時，我們才有可能用更精細和更符合直覺的手段來定義不同的比較(附加有數學結構的)集合大小的方法。
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