數(shù)學(xué)專項輔導(dǎo)：集合大小定義的基本要求(3)
2011-09-27 11:17:22搜狐教育專區(qū)
所謂的結(jié)構(gòu)，就是在元素間增加聯(lián)系，使得它們不能隨便亂動。建筑工地上搭的腳手架就是一種結(jié)構(gòu)，上面的鋼管啊鐵絲啊木板啊都不是隨隨便便堆在一起的，而是按照一定的方式聯(lián)系在一起。修建完了一幢大樓后，工人們會把它們都拆下來再拿到另一個工地上去安裝使用，雖然構(gòu)成腳手架的元素——鋼管鐵絲木板還是原來的那些，但是腳手架卻完全是另一個了，變化了的其實是結(jié)構(gòu)。
數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)也一樣。比如說上面我們講的序關(guān)系，就是元素之間的一種聯(lián)系。我們可以很方便地驗證自然數(shù)的大小滿足我們前面所說的偏序關(guān)系的三個條件，而且每兩個自然數(shù)之間都可以比較大小，所以在自然數(shù)集合上有一個全序關(guān)系，這個關(guān)系就給了自然數(shù)集合一個結(jié)構(gòu)，就叫序結(jié)構(gòu)。你可以把擁有全序結(jié)構(gòu)的自然數(shù)集合仍舊想像成上面那個裝了球的袋子，只是這時候那些球已經(jīng)被從小到大串成了一串，不能隨便亂跑了。平時我們想像自然數(shù)集合，可能會把它想成數(shù)軸上離原點越來越遠(yuǎn)的一串點，或者1、2、3、……這樣從小到大的一列數(shù)，不知不覺地，我們已經(jīng)把序結(jié)構(gòu)想像進(jìn)去了。當(dāng)我們感到“正偶數(shù)的個數(shù)應(yīng)該是自然數(shù)個數(shù)的一半，因為每隔一個數(shù)就有一個是偶數(shù)”，我們是在想像那條串成一串的球，偶數(shù)球得老老實實地和奇數(shù)球一個隔一個地串在一起，而不是雜亂無章放在袋里，后面這種情況是談不上“每隔一個”的。
在考慮到自然數(shù)的序結(jié)構(gòu)后，我們就可以給“自然數(shù)的個數(shù)是正偶數(shù)的個數(shù)的兩倍”這種直覺一個合理的解釋了。考慮小于100的正偶數(shù)，一共有49個，所以占小于100的自然數(shù)的49/99，接近1/2;如果把“小于100”改成“小于1000”，那么結(jié)果是499/999，更接近1/2了;把上面的100和1000換成越來越大的數(shù)字，我們會發(fā)現(xiàn)正偶數(shù)所占的比例會越來越接近1/2。這就提示我們可以采用這樣一種關(guān)于自然數(shù)的子集的大小的定義：如果A是自然數(shù)的一個子集，令p(n)為A中小于n的元素的個數(shù)，我們稱limn→∞p(n)/n(就是當(dāng)n趨向無窮大時，p(n)/n的極限)為A相對于自然數(shù)集合的大小。在這個定義下，正偶數(shù)集合相對于自然數(shù)集合的大小就是1/2。按照這樣的定義，素數(shù)集合相對于自然數(shù)集合的大小是0，這也就是所謂的“幾乎所有的自然數(shù)都不是素數(shù)”。用上面這個方法還可以比較兩個自然數(shù)集合的子集的相對大小，具體方法就由讀者自己來思考了。
如果沒有自然數(shù)序結(jié)構(gòu)這個“背景”，我們就只能夠使用一一對應(yīng)的方法來討論集合的基數(shù)，那種“自然數(shù)的個數(shù)是正偶數(shù)的個數(shù)的兩倍”的直覺只是一種錯覺。比如說考慮下面平面圖上，所有(2n,n)這樣的點所組成的集合(其中n是自然數(shù))。如果站在x軸的角度來看，我們發(fā)現(xiàn)每隔一列就有一個點，而列數(shù)顯然和自然數(shù)一樣多，所以點數(shù)就該和正偶數(shù)一樣多;如果站在y軸的角度來看，我們發(fā)現(xiàn)每行都有一個點，而行數(shù)也和自然數(shù)一樣多，所以點數(shù)就該和自然數(shù)一樣多。按照集合基數(shù)的觀點，自然數(shù)和正偶數(shù)一樣多，上面這種情況完全不造成矛盾，但是“直覺”所給予的一會兒“一樣多”一會兒“兩倍”的印象，就沒有太大的意義了(最多得到“兩倍的無窮大等于無窮大”這種我們按照一一對應(yīng)原則早已熟知，而且解釋得更好的觀點)。
除了序結(jié)構(gòu)外，還有其他的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。法國著名的布爾巴基學(xué)派就認(rèn)為數(shù)學(xué)基于三種母結(jié)構(gòu)：序結(jié)構(gòu)、代數(shù)結(jié)構(gòu)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，各種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)可以混雜在一起得出不同的數(shù)學(xué)對象，比如說實數(shù)集上有比較大小的序結(jié)構(gòu)，還有由算術(shù)運算(加和乘，減和除是它們的逆運算)定義的代數(shù)結(jié)構(gòu)，以及由極限理論(它規(guī)定了某些點必須在另一些點的“附近”)定義的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。布爾巴基學(xué)派試圖用結(jié)構(gòu)主義的觀點來統(tǒng)一數(shù)學(xué)，出版了著名的《數(shù)學(xué)原理》。結(jié)構(gòu)主義的觀點大致來說，就是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)決定數(shù)學(xué)對象。兩個分別定義在兩個不同集合上的數(shù)學(xué)對象，如果它們的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)相同，那么即使集合中的元素很不相同，它們其實也是同一個數(shù)學(xué)對象。在數(shù)學(xué)中我們有時會碰到“同構(gòu)”這個詞，就是指在某種一一映射下，兩個數(shù)學(xué)對象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)相同。
舉一個簡單的例子。中學(xué)里我們學(xué)過復(fù)數(shù)和它的幾何表示法，知道每個復(fù)數(shù)都可以對應(yīng)到直角坐標(biāo)平面上的一個點，而復(fù)數(shù)的加法和乘法也都有各自的幾何意義。在這里，一個復(fù)數(shù)是a+bi這樣的一對數(shù)，還是平面上的一個點(a,b)并不是關(guān)鍵，盡管一對數(shù)和一個點是完全不同的兩樣?xùn)|西，只要在實數(shù)對集合和平面點集上面由加法和乘法決定代數(shù)結(jié)構(gòu)是相同的，它們都可稱作是復(fù)數(shù)，是同一個數(shù)學(xué)對象。相反地，如果我們在平面上定義另一種乘法為(a1, b1)*(a2, b2)=((a1*a2, b1*b2)，那么盡管平面上的點仍舊是那些，但是因為在上面所定義的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)變了，于是就完全是兩種不同的數(shù)學(xué)對象了。
象上面這樣的例子中數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的相同當(dāng)然很直觀，而有一些此類問題則牽涉到極其深刻的數(shù)學(xué)理論，比如說著名的龐加萊猜想(新千年的七大數(shù)學(xué)問題之一，價值百萬美金:-))就是問，是否任意閉單連通3維流形都同胚于3維球，換句話說，是否給定了“閉單連通”這個條件，在3維流形上就只能有一種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，也就是3維球的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)?另外，證明兩個原來似乎沒有關(guān)系的數(shù)學(xué)對象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)其實是相同的，意義非常重大，這樣的定理是連通兩個數(shù)學(xué)領(lǐng)域的橋梁。這意味著這兩個數(shù)學(xué)對象其實是同一種東西，對于其中一個數(shù)學(xué)對象成立的理論，可以立刻應(yīng)用在另一個上面;以往用來研究一種數(shù)學(xué)對象的方法，就可以被用來研究另一類數(shù)學(xué)對象。本文開頭說到英國數(shù)學(xué)家懷爾斯證明了費爾馬大定理，他證明的其實是更一般的“谷山-志村猜想”。這個猜想就是此類意義重大的命題，它溝通了兩個數(shù)學(xué)領(lǐng)域：橢圓曲線和模形式。它的證明被稱為是“人類智慧的凱歌”。
最后舉個搞笑的例子。網(wǎng)上有人發(fā)現(xiàn)了下面兩張圖片，左邊是變形金剛的電影招貼，右邊是藍(lán)貓的廣告，構(gòu)成畫面的元素不同，一個是機(jī)器人，一個是藍(lán)貓和它的朋友，但是擺的“甫士”和畫面結(jié)構(gòu)卻相同，也算是個不光彩的“同構(gòu)”例子吧。
“一個平面上的點應(yīng)該比一條直線上的點的個數(shù)多”這樣的直覺也可以用附加的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)來解釋合理性。當(dāng)我們想像直線或平面上的點時，我們不但想像了那些點集，同時也在想像著這些點集構(gòu)成的直線和平面，于是它們就再不是那些集合中散亂的點了，它們的排列非常有規(guī)律。換句話說，我們在點集上增加了決定直線和平面的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。如果我們把直線和平面看作是實數(shù)域上的線性空間(關(guān)于線性空間的理論是線性代數(shù)，所有理科的學(xué)生會在大學(xué)一年級學(xué)習(xí))，我們就遇見了一些數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)：首先我們需要一個實數(shù)域，上面有一個域的代數(shù)結(jié)構(gòu)，其次我們在直線和平面的點集上定義了一個交換群的代數(shù)結(jié)構(gòu)，最后在實數(shù)域和交換群上定義了稱作“數(shù)乘”的代數(shù)結(jié)構(gòu)，這個代數(shù)結(jié)構(gòu)同域和交換群上的各種運算都兼容，這樣我們最終得到了這個被稱為“實數(shù)域上的線性空間”的代數(shù)結(jié)構(gòu)。上面這一串話也許有點復(fù)雜，但是中心思想就是上面所說的結(jié)構(gòu)主義的思想：數(shù)學(xué)對象是由各種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)混雜在一起(當(dāng)然要合理地混雜在一起，上面所說的“兼容”就是這個意思)而得到的。一旦我們這樣規(guī)定了線性空間的結(jié)構(gòu)，我們就可以定義線性空間的維數(shù)，這時我們可以說，兩維的線性空間(平面)在這種意義下要比一維的線性空間(直線)大。
從上面兩個例子我們看到，當(dāng)集合中的元素只是被看做一個沒有任何數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的集合中散亂的元素時，我們只能用一一對應(yīng)的方法來比較集合的大小;而當(dāng)豐富多彩的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)被加在集合上時，我們才有可能用更精細(xì)和更符合直覺的手段來定義不同的比較(附加有數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的)集合大小的方法。
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