數學專項輔導：集合大小定義的基本要求

　　作為集合大小的定義，應該滿足什么樣的基本要求?我們當然要盡可能地使它符合一般的關于“大小”的常識和直覺，其中有許多是要比“整體大于部分”更加要緊的。

    首先，一個集合的大小只應該取決于這個集合本身。

　　我們知道一個集合可以用多種方法來構造和表示，比如說，

　　A={小于等于2的正整數｝

　　B={1, 2｝

　　C={x2-3x+2=0的根｝

　　其實都是同一個集合，

　　D={n | n為自然數，且方程xn+yn=zn有xyz≠0的整數解｝

　　又怎么樣呢?1996年英國數學家懷爾斯證明了費爾馬大定理，所以集合D和上面的集合A、B、C是同一個集合，它里面有兩個元素1和2。我們記得，一個集合由它所含的元素唯一決定，所以它的大小也不能取決于它被表示的方法，或者被構造的途徑，它只應該取決于它本身。

　　一個集合得和自己一樣大，這個沒有什么好說的;

    其次，如果集合A不小于(也就是說或者大于，或者一樣大)集合B，而集合B也不小于集合A，那么它們就必須是一樣大的;

    第三，如果集合A不小于集合B，而集合B又不小于集合C，那么集合A就必須不小于集合C。在數學上，我們稱滿足這三個條件的關系為“偏序關系”(注：嚴格地說，這個偏序關系并不定義在集合之間，而是定義在集合按“一樣大”這個等價關系定義出的等價類之間，關于偏序關系的嚴格定義的敘述和上面所說的也有區別，但這些問題在這里并不要緊，你如果看不懂這個注在講什么也不要緊)。如果一個關于集合大小的定義違反了上面所說的三條之一，這個定義的怪異程度一定會超過上面使用一一對應原則的定義!

　　舉個例子，比如說我對某位科幻小說作家的喜愛程度就是一個偏序關系。如果我喜歡阿西莫夫勝于喜歡凡爾納，而喜歡凡爾納又勝于喜歡克拉克，那在阿西莫夫和克拉克中，我一定更喜歡阿西莫夫。不過一個偏序關系并不要求任意兩個對象都能相互比較。比如說劉慈欣的水平當然不能和克拉克這樣的世界級科幻大師比，但是“喜歡”是一種很個人的事情，作為一個中國人，我對中國的科幻創作更感興趣——所以似乎不能說我更喜歡克拉克，但也不能說我更喜歡劉慈欣，而且也不能說同樣喜歡，因為喜歡的地方不一樣——所以更確切地也許應該說，他們倆之間不能比較。但偏序關系中存在這樣的可能性，有一個對象可以和兩個不能相互比較的對象中的每一個相比較，比方說我喜歡阿西莫夫勝過劉慈欣和克拉克中的任一個。

　　不過作為集合大小的定義，我們希望能夠比較任意兩個集合的大小。所以，對于任何給定的兩個集合A和B，或者A比B大，或者B比A大，或者一樣大，這三種情況必須有一種正確而且只能有一種正確。這樣的偏序關系被稱為“全序關系”。

　　最后，新的定義必須保持原來有限集合間的大小關系。有限集合間的大小關系是很清楚的，所謂的“大”，也就是集合中的元素更多，有五個元素的集合要比有四個元素的集合大，在新的擴充了的集合定義中也必須如此。這個要求是理所當然的，否則我們沒有理由將新的定義作為老定義的擴充。

　　“整體大于部分”原則的困難和一一對應原則的優點

　　滿足上面幾條要求的定義，最簡單的就是認為無限就只有一種，所有的無限集合都一樣大，而它們都大于有限集合。這其實是康托爾創立集合論以前數學家的看法，所以康托爾把無限分成許多類的革命性做法使得數學家們大吃了一驚。但是這樣的定義未免太粗糙了一點，只不過是把“無限集合比有限集合大”換了種方法說罷了，我們看不出這有什么用處。沒有用的定義不要也罷——再說在這種定義中，自然數和正偶數也一樣多，因為所對應的集合都是無限集合。

　　如果我們在上面幾條要求中，再加上“整體大于部分”這條要求會怎么樣呢?

　　我們想像平面上有條射線，射線的一端是原點，然后在上面我們每隔一厘米畫一個點，并在每個點旁邊標上1、2、3……等，這樣就有無窮個點。那么這個點集和自然數集合比較大小的結果應該如何?按照我們前面的要求，任何兩個集合都應該可以比較大小的。我們很容易想像到，這其實是一條數軸的正半軸，上面的點就是代表自然數的那些點，所以這些點的個數應該和自然數的個數相同。而且，按照“整體大于部分”的規定，那些標有10、20、30……的點的集合比所有點的集合要小。但是“一厘米”實在是非常人為的規定，如果我們一開始就每隔一分米畫一個點，順著上面的思路，這些點的個數也該和自然數一樣多，但是這恰好是按一厘米間隔畫點時標有10、20、30……的點啊!那些點始終是一樣的，所以它們的個數不應該取決于在它們的旁邊標記的是“1、2、3……”還是“10、20、30……”。