高中數學最難的三章知識點
來源：高三網 2021-11-29 23:16:49
高中數學最難的三章是函數、數列和不等式、三角函數和平面向量。下面是這幾章知識點的內容，快來看看吧。
1高中數學函數知識點
一、函數的定義域的常用求法：
1、分式的分母不等于零；
2、偶次方根的被開方數大于等于零；
3、對數的真數大于零；
4、指數函數和對數函數的底數大于零且不等于1；
5、三角函數正切函數y=tanx中x≠kπ+π/2；
6、如果函數是由實際意義確定的解析式，應依據自變量的實際意義確定其取值范圍。
二、函數的解析式的常用求法：
1、定義法；
2、換元法；
3、待定系數法；
4、函數方程法；
5、參數法；
6、配方法
三、函數的值域的常用求法：
1、換元法；
2、配方法；
3、判別式法；
4、幾何法；
5、不等式法；
6、單調性法；
7、直接法
四、函數的最值的常用求法：
1、配方法；
2、換元法；
3、不等式法；
4、幾何法；
5、單調性法
五、函數單調性的常用結論：
1、若f(x),g(x)均為某區間上的增（減）函數，則f(x)+g(x)在這個區間上也為增（減）函數。
2、若f(x)為增（減）函數，則-f(x)為減（增）函數。
3、若f(x)與g(x)的單調性相同，則f[g(x)]是增函數；若f(x)與g(x)的單調性不同，則f[g(x)]是減函數。
4、奇函數在對稱區間上的單調性相同，偶函數在對稱區間上的單調性相反。
5、常用函數的單調性解答：比較大小、求值域、求最值、解不等式、證不等式、作函數圖象。
六、函數奇偶性的常用結論：
1、如果一個奇函數在x=0處有定義，則f（0）=0，如果一個函數y=f（x)既是奇函數又是偶函數，則f(x)=0（反之不成立）。
2、兩個奇（偶）函數之和（差）為奇（偶）函數；之積（商）為偶函數。
3、一個奇函數與一個偶函數的積（商）為奇函數。
4、兩個函數y=f（u）和u=g（x）復合而成的函數，只要其中有一個是偶函數，那么該復合函數就是偶函數；當兩個函數都是奇函數時，該復合函數是奇函數。
5、若函數f（x）的定義域關于原點對稱，則f（x）可以表示為f（x）=1/2[f（x）+f（-x）]+1/2[f（x）+f（-x）]，該式的特點是：右端為一個奇函數和一個偶函數的和。
2高中數學數列和不等式知識點
不等式的性質
①對稱性
②傳遞性
③加法單調性，即同向不等式可加性
④乘法單調性
⑤同向正值不等式可乘性
⑥正值不等式可乘方
⑦正值不等式可開方
⑧倒數法則
注意事項
1、符號
不等式兩邊相加或相減同一個數或式子，不等號的方向不變。(移項要變號)
不等式兩邊相乘或相除同一個正數，不等號的方向不變。(相當系數化1，這是得正數才能使用)
不等式兩邊乘或除以同一個負數，不等號的方向改變。(除或乘1個負數的時候要變號)
2、解集
確定解集：
①比兩個值都大，就比大的還大(同大取大)
②比兩個值都小，就比小的還小(同小取小)
③比大的大，比小的小，無解(大大小小取不了)
④比小的大，比大的小，有解在中間(小大大小取中間)
三個或三個以上不等式組成的不等式組，可以類推。
3、數軸法
可以在數軸上確定解集：
把每個不等式的解集在數軸上表示出來，數軸上的點把數軸分成若干段，如果數軸的某一段上面表示解集的線的條數與不等式的個數一樣，那么這段就是不等式組的解集。有幾個就要幾個。
證明方法
1、比較法
作差比較法：根據a-b>0?a>b，欲證a>b，只需證a-b>0
作商比較法：根據a/b=1，
當b>0時，得a>b，
當b>0時，欲證a>b，只需證a/b>1，
當b<0時，得a
2、綜合法
由因導果. 證明不等式時，從已知的'不等式及題設條件出發，運用不等式性質及適當變形推導出要證明的不等式. 合法又叫順推證法或因導果法。
3、分析法
執果索因. 證明不等式時，從待證命題出發，尋找使其成立的充分條件. 由于”分析法“證題書寫不是太方便，所以有時我們可以利用分析法尋找證題的途徑，然后用”綜合法“進行表述。
4、放縮法
將不等式一側適當的放大或縮小以達到證題目的，已知A
5、數學歸納法
證明與自然數n有關的不等式時，可用數學歸納法證之。
用數學歸納法證明不等式，要注意兩步一結論。
在證明第二步時，一般多用到比較法、放縮法和分析法。
6、反證法
證明不等式時，首先假設要證明的命題的反面成立，把它作為條件和其他條件結合在一起，利用已知定義、定理、公理等基本原理逐步推證出一個與命題的條件或已證明的定理或公認的簡單事實相矛盾的結論，以此說明原假設的結論不成立，從而肯定原命題的結論成立的方法稱為反證法。
7、換元法
換元的目的就是減少不等式中變量的個數，以使問題化難為易，化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數換元。
8、構造法
通過構造函數、圖形、方程、數列、向量等來證明不等式。
3高中數學三角函數和平面向量知識點
一、定比分點
定比分點公式（向量P1P=λ向量PP2）
設P1、P2是直線上的兩點，P是l上不同于P1、P2的任意一點。則存在一個實數λ，使向量P1P=λ向量PP2，λ叫做點P分有向線段P1P2所成的比。
若P1（x1，y1），P2（x2，y2），P（x，y），則有
OP=（OP1+λOP2）（1+λ）；（定比分點向量公式）
x=（x1+λx2）/（1+λ），
y=（y1+λy2）/（1+λ）。（定比分點坐標公式）
我們把上面的式子叫做有向線段P1P2的定比分點公式。
二、三點共線定理
若OC=λOA+μOB，且λ+μ=1，則A、B、C三點共線。
三、三角形重心判斷式
在△ABC中，若GA+GB+GC=O，則G為△ABC的重心。
四、向量共線的重要條件
若b≠0，則a//b的重要條件是存在唯一實數λ，使a=λb。
a//b的重要條件是xy—xy=0。
零向量0平行于任何向量。
五、向量垂直的充要條件
a⊥b的充要條件是ab=0。
a⊥b的充要條件是xx+yy=0。
零向量0垂直于任何向量。
設a=（x，y），b=（x，y）。
六、向量的運算
1、向量的加法
向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。
AB+BC=AC。
a+b=（x+x，y+y）。
a+0=0+a=a。
向量加法的運算律：
交換律：a+b=b+a；
結合律：（a+b）+c=a+（b+c）。
2、向量的減法
如果a、b是互為相反的向量，那么a=—b，b=—a，a+b=0。0的反向量為0
AB—AC=CB。即“共同起點，指向被減”
a=（x，y） b=（x，y） 則a—b=（x—x，y—y）。
4、數乘向量
實數λ和向量a的乘積是一個向量，記作λa，且∣λa∣=∣λ∣∣a∣。
當λ＞0時，λa與a同方向；
當λ＜0時，λa與a反方向；
當λ=0時，λa=0，方向任意。
當a=0時，對于任意實數λ，都有λa=0。
注：按定義知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
實數λ叫做向量a的系數，乘數向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮。
當∣λ∣＞1時，表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸長為原來的∣λ∣倍；
當∣λ∣＜1時，表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上縮短為原來的.∣λ∣倍。
5、數與向量的乘法滿足下面的運算律
結合律：（λa）b=λ（ab）=（aλb）。
向量對于數的分配律（第一分配律）：（λ+μ）a=λa+μa。
數對于向量的分配律（第二分配律）：λ（a+b）=λa+λb。
數乘向量的消去律：
①如果實數λ≠0且λa=λb，那么a=b。
②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
6、向量的的數量積
定義：已知兩個非零向量a，b。作OA=a，OB=b，則角AOB稱作向量a和向量b的夾角，記作〈a，b〉并規定0≤〈a，b〉≤π
定義：兩個向量的數量積（內積、點積）是一個數量，記作ab。若a、b不共線，則ab=|a||b|cos〈a，b〉；若a、b共線，則ab=+—∣a∣∣b∣。
向量的數量積的坐標表示：ab=xx+yy。
7、向量的數量積的運算律
ab=ba（交換律）；
（λa）b=λ（ab）（關于數乘法的結合律）；
（a+b）c=ac+bc（分配律）；
向量的數量積的性質
aa=|a|的平方。
a⊥b〈=〉ab=0。
|ab|≤|a||b|。
8、向量的數量積與實數運算的主要不同點
8.1向量的數量積不滿足結合律，即：（ab）c≠a（bc）；例如：（ab）^2≠a^2b^2。
8.2向量的數量積不滿足消去律，即：由ab=ac（a≠0），推不出b=c。
8.3|ab|≠|a||b|
8.4由a|=|b|，推不出a=b或a=—b。
七、向量的向量積
1、定義：兩個向量a和b的向量積（外積、叉積）是一個向量，記作a×b。若a、b不共線，則a×b的模是：∣a×b∣=|a||b|sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按這個次序構成右手系。若a、b共線，則a×b=0。
2、向量的向量積性質：
∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積。
a×a=0。
a‖b〈=〉a×b=0。
3、向量的向量積運算律
a×b=—b×a；
（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；
（a+b）×c=a×c+b×c。
注：向量沒有除法，“向量AB/向量CD”是沒有意義的。
4、向量的三角形不等式
1、∣∣a∣—∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；
①當且僅當a、b反向時，左邊取等號；
②當且僅當a、b同向時，右邊取等號。
2、∣∣a∣—∣b∣∣≤∣a—b∣≤∣a∣+∣b∣。
①當且僅當a、b同向時，左邊取等號；
②當且僅當a、b反向時，右邊取等號。
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