等價矩陣的秩相等嗎?
來源：高三網 2021-11-29 22:28:43
相等。在線性代數和矩陣論中，有兩個m×n階矩陣A和B，如果這兩個矩陣滿足B=QAP（P是n×n階可逆矩陣，Q是m×m階可逆矩陣），那么這兩個矩陣之間是等價關系。也就是說，存在可逆矩陣（P、Q)，使得A經過有限次的初等變換得到B。
1等價矩陣性質
矩陣A和A等價(反身性）；
矩陣A和B等價，那么B和A也等價(等價性）；
矩陣A和B等價，矩陣B和C等價,那么A和C等價（傳遞性）；
矩陣A和B等價，那么IAI=KIBI。(K為非零常數)
具有行等價關系的矩陣所對應的線性方程組有相同的解對于相同大小的兩個矩形矩陣，它們的等價性也可以通過以下條件來表征：
（1）矩陣可以通過基本行和列操作的而彼此變換。
（2）當且僅當它們具有相同的秩時，兩個矩陣是等價的。
2矩陣的秩
矩陣的秩是線性代數中的一個概念。在線性代數中，一個矩陣A的列秩是A的線性獨立的縱列的極大數，通常表示為r(A)，rk(A)或rank A。
在線性代數中，一個矩陣A的列秩是A的線性獨立的縱列的極大數目。類似地，行秩是A的線性無關的橫行的極大數目。即如果把矩陣看成一個個行向量或者列向量，秩就是這些行向量或者列向量的秩，也就是極大無關組中所含向量的個數。
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