高中數學必修一典型例題分析之數列

高中數學必修一典型例題分析之數列

對于即將升入高中的同學來說，高中數學是一個讓人比較頭疼的科目，下面是小編為大家整理的高中數學必修一數列經典例題及解析，希望能對大家有所幫助。

高中數學必修一數列經典例題

【例1】 在100以內有多少個能被7個整除的自然數?

解 ∵100以內能被7整除的自然數構成一個等差數列，其中a1=7，d=7，an=98.

代入an=a1+(n-1)d中，有

98=7+(n-1)·7

解得n=14

答 100以內有14個能被7整除的自然數.

【例2】 在-1與7之間順次插入三個數a，b，b使這五個數成等差數列，求此數列.

解 設這五個數組成的等差數列為{an}

由已知：a1=-1，a5=7

∴7=-1+(5-1)d 解出d=2

所求數列為：-1，1，3，5，7.

插入一個數，使之組成一個新的等差數列，求新數列的通項.

【例3】 在[1000，2000]內能被3整除且被4除余1的整數共有多少個?

解 設an=3n，bm=4m-3，n，m∈N

得n=4k-1(k∈N)，得{an}，{bm}中相同的項構成的數列{cn}的通項cn=12n-3(n∈N).

則在[1000，2000]內{cn}的項為84·12-3，85·12-3，…，166·12-3

∴n=166-84+1=83 ∴共有83個數.

高中數學必修一數列經典例題

【例4】 三個數成等差數列，其和為15，其平方和為83，求此三個數.

解 設三個數分別為x-d，x，x+d.

解得x=5，d=±2

∴ 所求三個數為3、5、7或7、5、3

說明 注意學習本題對三個成等差數列的數的設法.

【例5】 已知a、b、c成等差數列，求證：b+c，c+a，a+b也成等差數列.

證 ∵a、b、c成等差數列

∴2b=a+c

∴(b+c)+(a+b)=a+2b+c

=a+(a+c)+c

=2(a+c)

∴b+c、c+a、a+b成等差數列.

說明 如果a、b、c成等差數列，常化成2b=a+c的形式去運用;反之，如果求證a、b、c成等差數列，常改證2b=a+c.本例的意圖即在讓讀者體會這一點.

可能是等差數列.

分析 直接證明a、b、c不可能是等差數列，有關等差數列的知識較難運用，這時往往用反證法.

證 假設a、b、c是等差數列，則2b=a+c

∴2ac=b(a+c)=2b2，b2=ac.

又∵ a、b、c不為0，

∴ a、b、c為等比數列，

又∴ a、b、c為等差數列，

∴ a、b、c為常數列，與a=?b矛盾，

∴ 假設是錯誤的.

∴ a、b、c不可能成等差數列.

高中數學必修一數列經典例題

【例6】 解答下列各題：

(1)已知等差數列{an}，an=?0，公差d=?0，求證：

①對任意k∈N，關于x的方程

akx2+2ak+1x+ak+2=0有一公共根;

分析與解答

(1)akx2+2ak+1x+ak+2=0

∵{an}為等差數列，∴2ak+1=ak+ak+2

∴akx2+(ak+ak+2)x+ak+2=0

∴(akx+ak+2)(x+1)=0，ak=?0

∵{an}為等差數列，d為不等于零的常數

(2)由條件得 2b=a+c

∴4RsinB=2RsinA+2RsinC，2sinB=sinA+sinC

分析至此，變形目標需明確，即要證

由于目標是半角的余切形式，一般把切向弦轉化，故有

【例7】 若正數a1，a2，a3，…an+1成等差數列，求證：

證明 設該數列的公差為d，則

a1-a2=a2-a3=…=an-an+1=-d

∴a1-an+1=-nd

∴ 原等式成立.

高中數學必修一數列經典例題

【例8】已知Sn是數列{an}的前n項和，Sn=pn(p∈R，n∈N*)，那么數列{an}.

[ ]

A.是等比數列

B.當p=?0時是等比數列

C.當p=?0，p=?1時是等比數列

D.不是等比數列

分析 由Sn=pn(n∈N*)，有a1=S1=p，并且當n≥2時，

an=Sn-Sn-1=pnpn-1=(p-1)pn-1

但滿足此條件的實數p是不存在的，故本題應選D.

說明 數列{an}成等比數列的必要條件是an=?0(n∈N*)，還要注

【例9】 已知等比數列1，x1，x2，…，x2n，2，求x1·x2·x3·…·x2n.

解 ∵1，x1，x2，…，x2n，2成等比數列，公比q

∴2=1·q2n+1

x1x2x3…x2n=q·q2·q3…q2n=q1+2+3+…+2n

式;(2)已知a3·a4·a5=8，求a2a3a4a5a6的值.

∴a4=2

【例10】 已知a>0，b>0且a=?b，在a，b之間插入n個正數x1，x2，…，xn，使得a，x1，x2，…，xn，b成等比數列，求

證明 設這n+2個數所成數列的公比為q，則b=aqn+1

高中數學必修一數列經典例題

【例11】 設a、b、c、d成等比數列，求證：(b-c)2+(c-a)2+(d-b)2=(a-d)2.

證法一 ∵a、b、c、d成等比數列

∴b2=ac，c2=bd，ad=bc

∴左邊=b2-2bc+c2+c2-2ac+a2+d2-2bd+b2

=2(b2-ac)+2(c2-bd)+(a2-2bc+d2)

=a2-2ad+d2

=(a-d)2=右邊

證畢.

證法二 ∵a、b、c、d成等比數列，設其公比為q，則：

b=aq，c=aq2，d=aq3

∴左邊=(aq-aq2)2+(aq2-a)2+(aq3-aq)2

=a2-2a2q3+a2q6

=(a-aq3)2

=(a-d)2=右邊

證畢.

說明 這是一個等比數列與代數式的恒等變形相綜合的題目.證法一是抓住了求證式中右邊沒有b、c的特點，走的是利用等比的條件消去左邊式中的b、c的路子.證法二則是把a、b、c、d統一化成等比數列的基本元素a、q去解決的.證法二稍微麻煩些，但它所用的統一成基本元素的方法，卻較證法一的方法具有普遍性.

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