高中數學必修一經典例題分析——指數函數

高中數學必修一經典例題分析——指數函數

對于即將升入高中的同學來說，高中數學是一個讓人比較頭疼的科目，下面是小編為大家整理的高中數學指數函數經典例題及解析，希望能對大家有所幫助。

高中數學指數函數例題分析

【例1】求下列函數的定義域與值域：

解 (1)定義域為x∈R且x=?2.值域y>0且y=?1.

(2)由2x+2-1≥0，得定義域{x|x≥-2}，值域為y≥0.

(3)由3-3x-1≥0，得定義域是{x|x≤2}，∵0≤3-3x-1<3，

【例2】指數函數y=ax，y=bx，y=cx，y=dx的圖像如圖2.6-2所示，則a、b、c、d、1之間的大小關系是

[ ]

A.a

B.a

C. b

D.c

解 選(c)，在x軸上任取一點(x，0)，則得b

【例3】比較大小：

(3)4.54.1________3.73.6

解 (3)借助數4.53.6打橋，利用指數函數的單調性，4.54.1>4.53.6，作函數y1=4.5x，y2=3.7x的圖像如圖2.6-3，取x=3.6，得4.53.6>3.73.6

∴ 4.54.1>3.73.6.

說明 如何比較兩個冪的大小：若不同底先化為同底的冪，再利用指數函數的單調性進行比較，如例2中的(1).若是兩個不同底且指數也不同的冪比較大小時，有兩個技巧，其一借助1作橋梁，如例2中的(2).其二構造一個新的冪作橋梁，這個新的冪具有與4.54.1同底與3.73.6同指數的特點，即為4.53.6(或3.74.1)，如例2中的(3).

高中數學指數函數例題分析

【例4】求下列函數的增區間與減區間

(1)y=|x2+2x-3|

解 (1)令f(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4.

先作出f(x)的圖像，保留其在x軸及x軸上方部分，把它在x軸下方的圖像翻到x軸就得到y=|x2+2x-3|的圖像，如圖2.3-1所示.

由圖像易得：

遞增區間是[-3，-1]，[1，+∞)

遞減區間是(-∞，-3]，[-1，1]

(2)分析：先去掉絕對值號，把函數式化簡后再考慮求單調區間.

解 當x-1≥0且x-1=?1時，得x≥1且x=?2，則函數y=-x.

當x-1<0且x-1=?-1時，得x<1且x=?0時，則函數y=x-2.

∴增區間是(-∞，0)和(0，1)

減區間是[1，2)和(2，+∞)

(3)解：由-x2-2x+3≥0，得-3≤x≤1.

令u==g(x)=-x2-2x+3=-(x+1)2+4.在x∈[-3，-1]上是在x∈[-1，1]上是.

∴函數y的增區間是[-3，-1]，減區間是[-1，1].

【例5】函數f(x)=ax2-(3a-1)x+a2在[-1，+∞]上是增函數，求實數a的取值范圍.

解 當a=0時，f(x)=x在區間[1，+∞)上是增函數.

若a<0時，無解.

∴a的取值范圍是0≤a≤1.

高中數學指數函數例題分析

【例6】已知二次函數y=f(x)(x∈R)的圖像是一條開口向下且對稱軸為x=3的拋物線，試比較大小：

(1)f(6)與f(4)

解 (1)∵y=f(x)的圖像開口向下，且對稱軸是x=3，∴x≥3時，f(x)為減函數，又6>4>3，∴f(6)

時為減函數.

解 任取兩個值x1、x2∈(-1，1)，且x1

當a>0時，f(x)在(-1，1)上是減函數.

當a<0時，f(x)在(-1，1)上是增函數.

【例5】利用函數單調性定義證明函數f(x)=-x3+1在(-∞，+∞)上是減函數.

證 取任意兩個值x1，x2∈(-∞，+∞)且x1

又∵x1-x2<0，∴f(x2)

故f(x)在(-∞，+∞)上是減函數.

得f(x)在(-∞，+∞)上是減函數.

解 定義域為(-∞，0)∪(0，+∞)，任取定義域內兩個值x1、x2，且x1

∴當0

0，f(x1)>f(x2)

∴f(x)在(0，1]，[-1，0)上為減函數.

當1≤x1

0，x1x2>0，f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(-∞，-1]，[1，+∞)上為增函數.

根據上面討論的單調區間的結果，又x>0時，f(x)min=f(1)=2，當x<0時，f(x)max=f(-1)=-2.由上述的單調區間及最值可大致

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