高三數學平面向量考點解析

　　1、 高中數學知識點總結平面向量的概念：平面向量是既有大小又有方向的量。向量和數量是數學中討論的兩種量的形式，數量是實數。

　　2、  平面向量的三種形式：

　　（1）字母形式：用單獨的小寫字母帶箭頭或者用兩個大寫字母帶箭頭表示向量；

　　（2）幾何形式；用平面內的有向線段表示向量，零向量是一個點；

　　（3）坐標形式：向量可以在坐標平面內用坐標表示，向量坐標等于它的終點坐標減去始點坐標。

　　3、平面向量的相關概念，

　　（1）模（絕對值）：向量的大小或者向量的長度叫做向量的模，模是大于等于的實數。模也叫作絕對值、大小、長度，這幾個說法是一個意思。

　　（2）相等向量：方向相同、大小相等的向量叫做相等向量（或者叫相同向量），兩個相等向量的x，y坐標對應相等。

　　（3）相反向量：方向相反、大小相等的向量叫做相反向量。一個向量加負號即變為其相反向量，在向量化簡和運算中很常見、很重要。

　　（4）平行（共線）向量：平面內兩個向量所在的直線平行或者重合，則說這兩個向量平行（或者共線），用平行符號表示。因為向量可以自由平移，所以對向量來講平行和共線是一個意思。兩個非零向量平行時，必定方向相同或相反。規定零向量和任意向量都平行，但不能說零向量和其它向量方向相同或相反。

　　（5）垂直向量：兩向量所在的直線垂直（或者說夾角為90度），則說這兩個向量為垂直向量，用垂直符號表示。規定零向量和任意向量都垂直，但不能說夾角90度。

　　（6）零向量：大小為零（或者說模、絕對值、長度為零都是一個意思）的向量叫做零向量，規定零向量的方向是任意的，不能討論零向量和其它向量方向的關系及夾角問題。規定零向量和任意向量都平行且垂直。

　　（7）單位向量：長度為1的向量叫做單位向量。一個向量除以自己的模得到和這個向量同方向的單位向量；單位向量乘以一個向量的模得到這個向量。

　　（8）位置向量：向量AB可以表示點B相對點A的位置，所以向量AB可以叫做點B關于點A的位置向量。

　　（9）方向向量：一個非零向量與一條直線平行，則這個向量叫做這條直線的平行向量。一條直線的方向向量有無數多個。方向向量能體現直線的方向，作用和直線的斜率相同，方向向量的坐標和斜率可以相互轉化。記住如下結論：若已知直線的斜率為K，則（1，K）為直線的一個方向向量；若（m，n）是直線的一個方向向量，則直線的斜率為n/m。

　　（10）平移向量：平面內的點或者圖像按照某一個向量平移的意思是：按照向量的方向，平移向量的長度。具體在平移的時候，是分解為水平方向和豎直方向兩步平移的。平移向量坐標為正就移向軸的正方向，坐標為負就移向軸的負方向。點平移后的坐標是原坐標的x，y加上平移向量的坐標；圖像平移后的方程是原方程中的x，y減去平移向量的坐標。

　　4、平面向量的線性運算

　　（1）向量的加法滿足三角形，平行四邊形和多邊形法則。用加法的三角形法則和多邊形法則時要保證向量之間首尾相接，然后從第一個向量的始點指向最后一個向量的終點得到的向量就是和向量。多邊形法則是三角形法則的拓展，關鍵都是向量要首尾相接。坐標形式相加是橫縱坐標分別相加。

　　（2）向量的減法滿足三角形法則。用減法的三角形法則時要保證兩個向量始點重合，從減數向量的終點指向被減數向量的終點得到的向量就是差向量。在兩向量共線時，加減法的三角形法則都成立。坐標形式相減是橫縱坐標分別相減。

　　（3）向量的數乘運算是實數和向量相乘，乘法符號是點。數乘運算的效果是向量長度的伸縮和方向的改變，要分實數大于0、小于0、等于0三種情況討論。乘完之后的向量和原向量一定共線。坐標形式的數乘是實數與橫縱坐標都相乘。

　　5、平面向量的兩個重要定理：

　　（1）共線向量定理：向量b不是零向量時，“向量a等于一個實數乘以向量b”等價于“向量a與向量b共線，且實數系數唯一”。注意：向量b若可能是零向量時，等價關系不成立，但是若已知兩向量滿足數乘關系可以推出兩向量平行。當兩個向量是用基向量表示時，兩向量平行則基向量的系數對應成比例；當兩個向量是坐標形式時，這個定理對任意向量（包括零向量）都等價，即：“兩向量平行”等價于“坐標的內積等于外積”。

　　（2）三點共線：三點共線問題就是向量共線的問題，等價于兩種向量的形式，哪一種好用就用哪一種。一、等價于用三個點任意構造兩個向量，兩個向量滿足數乘關系（或坐標滿足內積等于外積），建立等式；二、等價于以第四個點為公共始點，三個點為終點構造三個向量，其中一個向量用另兩個向量線性表示，系數之和為1。還要注意三角形中的中線向量定理，還有重心向量的形式，還有中點坐標公式和重心坐標公式，中線和重心是三角形中重要的量。

　　（3）平面向量基本定理：平面內任意的兩個不共線向量都可以做平面內的一組基向量，平面內的任意向量都可以由這一組基向量線性表示，且基向量的系數唯一。利用這個系數唯一求向量的系數是求系數問題的重要方法。

　　6、平面向量的數量積

　　（1）兩向量的夾角：兩向量始點重合或者終點重合時所成的0度到180度之間的角為兩向量的夾角；兩向量首尾相接時要找補角才是向量的夾角！兩向量的夾角用尖括號表示。

　　（2）數量積的字母形式：兩向量相乘等于兩向量的模的乘積再乘以夾角的余弦，乘法的結果是一個數量，所以這個乘法叫做數量積。乘法的符號是點。

　　（3）數量積的幾何形式：一個向量的長度乘以另一個向量在第一個向量方向上的射影的數量。射影是一個一維向量，它的數量也叫作它的坐標，有兩種計算形式哦：）

　　（4）數量積的運算律：滿足交換律和分配律，不滿足結合律和消去律。（當多個實數和兩個向量做乘法運算時結合律成立，三個以上的向量相乘不滿足結合律，但是碰巧的某個結合也成立的可能）

　　（5）數量積的運算性質：兩向量垂直等價于數量積為零；向量的長度等于向量平方再開方；兩向量的夾角的余弦等于兩向量的數量積除以模的乘積。兩向量模的乘積大于等于數量積的模（等號成立的條件時至少一個向量為零向量或者兩個非零向量共線）可以對比如下結論：兩向量和差的模大于等于兩向量模的差，小于等于兩向量模的和，這里等號成立的條件時至少一個向量為零向量或者兩向量同向反向其中之一（大家自己畫圖分析：））

　　7、向量問題的難點：

　　（1）向量字母形式的化簡和變形，分解和合成向量是難點。在向量比較多的時候要考慮找一組不共線向量做基向量表示其它向量，把向量的形式都統一成基向量（基向量最好是找長度和夾角都知道的兩個不共線向量，便于計算。一般是在平面圖形中找兩個相鄰的邊向量做基向量）。

　　（2）向量的表示和運算都有三種形式：字母形式，幾何形式，坐標形式，選擇好正確的形式解題會化難為易。一般的思路是能畫圖的先畫圖，使用向量的幾何形式分析，看不出來的可以考慮建坐標系用坐標形式計算，再不行的用字母形式化簡計算。能通過圖形觀察解決的是最方便和準確，需要計算的話坐標形式最好用，字母形式是比較抽象的。不過有的題給出比較熟悉的字母形式的條件，那就直接化簡好了，一般來講最后都是能化簡為兩個向量的數乘關系或者數量積為零的形式！還要注意三種形式的綜合使用。

　　（3）注意向量和三角、解析幾何、平面幾何的結合。在向量條件里出現三角函數的形式時，往往涉及到三角函數公式的應用；向量坐標形式有時會用到解析幾何的公式和結論；平面圖形中的向量問題也可能用到初中平面幾何的定理推論。