高中數(shù)學(xué)必修四·數(shù)列的含義、數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

　　1.高二數(shù)學(xué)數(shù)列知識(shí)點(diǎn)數(shù)列概念

　　①數(shù)列是一種特殊的函數(shù)。其特殊性主要表現(xiàn)在其定義域和值域上。數(shù)列可以看作一個(gè)定義域?yàn)檎�整�?shù)集N*或其有限子集{1，2，3，…，n}的函數(shù)，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。

　　②用函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)數(shù)列是重要的思想方法，一般情況下函數(shù)有三種表示方法，數(shù)列也不例外，通常也有三種表示方法：a.列表法；b。圖像法；c.解析法。其中解析法包括以通項(xiàng)公式給出數(shù)列和以遞推公式給出數(shù)列。

　　③函數(shù)不一定有解析式，同樣數(shù)列也并非都有通項(xiàng)公式。

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　　等差數(shù)列

　　1.等差數(shù)列通項(xiàng)公式

　　an=a1+(n-1)d

　　n=1時(shí)a1=S1

　　n≥2時(shí)an=Sn-Sn-1

　　an=kn+b(k，b為常數(shù))推導(dǎo)過(guò)程：an=dn+a1-d令d=k，a1-d=b則得到an=kn+b

　　2.等差中項(xiàng)

　　由三個(gè)數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以堪稱最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列。這時(shí)，A叫做a與b的等差中項(xiàng)(arithmeticmean)。

　　有關(guān)系：A=(a+b)÷2

　　3.前n項(xiàng)和

　　倒序相加法推導(dǎo)前n項(xiàng)和公式：

　　Sn=a1+a2+a3+·····+an

　　=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d]①

　　Sn=an+an-1+an-2+······+a1

　　=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d]②

　　由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+······+(a1+an)(n個(gè))=n(a1+an)

　　∴Sn=n(a1+an)÷2

　　等差數(shù)列的前n項(xiàng)和等于首末兩項(xiàng)的和與項(xiàng)數(shù)乘積的一半：

　　Sn=n(a1+an)÷2=na1+n(n-1)d÷2

　　Sn=dn2÷2+n(a1-d÷2)

　　亦可得

　　a1=2sn÷n-an=[sn-n(n-1)d÷2]÷n

　　an=2sn÷n-a1

　　有趣的是S2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1

　　4.等差數(shù)列性質(zhì)

　　一、任意兩項(xiàng)am，an的關(guān)系為：

　　an=am+(n-m)d

　　它可以看作等差數(shù)列廣義的通項(xiàng)公式。

　　二、從等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式還可推出：

　　a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈N*

　　三、若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，則有am+an=ap+aq

　　四、對(duì)任意的k∈N*，有

　　Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…成等差數(shù)列。

　　等比數(shù)列

　　1.等比中項(xiàng)

　　如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)。

　　有關(guān)系：

　　注：兩個(gè)非零同號(hào)的實(shí)數(shù)的等比中項(xiàng)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，所以G2=ab是a，G，b三數(shù)成等比數(shù)列的必要不充分條件。

　　2.等比數(shù)列通項(xiàng)公式

　　an=a1*q’(n-1)(其中首項(xiàng)是a1，公比是q)

　　an=Sn-S(n-1)(n≥2)

　　前n項(xiàng)和

　　當(dāng)q≠1時(shí)，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式為

　　Sn=a1(1-q’n)/(1-q)=(a1-a1*q’n)/(1-q)(q≠1)

　　當(dāng)q=1時(shí)，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式為

　　Sn=na1

　　3.等比數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系

　　an=a1=s1(n=1)

　　an=sn-s(n-1)(n≥2)

　　4.等比數(shù)列性質(zhì)

　　(1)若m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，則am·an=ap·aq；

　　(2)在等比數(shù)列中，依次每k項(xiàng)之和仍成等比數(shù)列。

　　(3)從等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1，2，…，n}

　　(4)等比中項(xiàng)：q、r、p成等比數(shù)列，則aq·ap=ar2，ar則為ap，aq等比中項(xiàng)。

　　記πn=a1·a2…an，則有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1

　　另外，一個(gè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列各項(xiàng)取同底指數(shù)冪后構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列；反之，以任一個(gè)正數(shù)C為底，用一個(gè)等差數(shù)列的各項(xiàng)做指數(shù)構(gòu)造冪Can，則是等比數(shù)列。在這個(gè)意義下，我們說(shuō)：一個(gè)正項(xiàng)等比數(shù)列與等差數(shù)列是“同構(gòu)”的。

　　(5)等比數(shù)列前n項(xiàng)之和Sn=a1(1-q’n)/(1-q)

　　(6)任意兩項(xiàng)am，an的關(guān)系為an=am·q’(n-m)

　　(7)在等比數(shù)列中，首項(xiàng)a1與公比q都不為零。

　　注意：上述公式中a’n表示a的n次方。