高考數學熱點函數導數題型解析(3)

　　考 點 整 合

　　1.求曲線y＝f(x)的切線方程的三種類型及方法

　　(1)已知切點P(x0，y0)，求y＝f(x)過點P的切線方程：求出切線的斜率f′(x0)，由點斜式寫出方程.

　　(2)已知切線的斜率為k，求y＝f(x)的切線方程：設切點P(x0，y0)，通過方程k＝f′(x0)解得x0，再由點斜式寫出方程.

　　(3)已知切線上一點(非切點)，求y＝f(x)的切線方程：設切點P(x0，y0)，利用導數求得切線斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切線斜率，列方程(組)解得x0，再由點斜式或兩點式寫出方程.

　　2.三次函數的零點分布

　　三次函數在存在兩個極值點的情況下，由于當x→∞時，函數值也趨向∞，只要按照極值與零的大小關系確定其零點的個數即可.存在兩個極值點x1，x2且x1＜x2的函數f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的零點分布情況如下：

　　a的符號    零點個數    充要條件

　　a＞0

　　(f(x1)為極大值，

　　f(x2)為極小值)    一個    f(x1)＜0

　　兩個    f(x1)＝0或者f(x2)＝0

　　三個    f(x1)＞0且f(x2)＜0

　　a＜0

　　(f(x1)為極小值，

　　f(x2)為極大值)    一個    f(x2)＜0

　　兩個    f(x1)＝0或者f(x2)＝0

　　三個    f(x1)＜0且f(x2)＞0

　　3.研究兩條曲線的交點個數的基本方法

　　(1)數形結合法，通過畫出兩個函數圖象，研究圖象交點個數得出答案.

　　(2)函數與方程法，通過構造函數，研究函數零點的個數得出兩曲線交點的個數.

　　熱點一　函數圖象的切線問題

　　[微題型1]　單一考查曲線的切線方程

　　【例1－1】在平面直角坐標系xOy中，設A是曲線C1：y＝ax3＋1(a＞0)與曲線C2：x2＋y2＝52的一個公共點，若C1在A處的切線與C2在A處的切線互相垂直，則實數a的值是________.

　　[微題型2]　綜合考查曲線的切線問題

　　【例1－2】 (2014·北京卷)已知函數f(x)＝2x3－3x.

　　(1)求f(x)在區間[－2，1]上的最大值；

　　(2)若過點P(1，t)存在3條直線與曲線y＝f(x)相切，求t的取值范圍；

　　(3)問過點A(－1，2)，B(2，10)，C(0，2)分別存在幾條直線與曲線y＝f(x)相切？(只需寫出結論).

　　【訓練1】 已知函數f(x)＝x3－x.

　　(1)設M(λ0，f(λ0))是函數f(x)圖象上的一點，求點M處的切線方程；

　　(2)證明：過點N(2，1)可以作曲線f(x)＝x3－x的三條切線.

　　熱點二　利用導數解決與函數零點(或方程的根)有關的問題

　　[微題型1]　討論方程根的個數

　　【例2－1】 (2015·廣州模擬)已知函數f(x)＝(x2－3x＋3)·ex的定義域為[－2，t](t＞－2).

　　(1)試確定t的取值范圍，使得函數f(x)在[－2，t]上為單調函數；

　　(2)當1＜t＜4時，求滿足f′（x0）ex0＝23(t－1)2的x0的個數.

　　[微題型2]　根據零點個數求參數范圍

　　【例2－2】 (2015·保定模擬)已知函數f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－2(e為自然對數的底數，a∈R).

　　(1)判斷曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與曲線y＝g(x)的公共點個數；

　　(2)當x∈1e，e時，若函數y＝f(x)－g(x)有兩個零點，求a的取值范圍.

　　【訓練2】 已知函數f(x)＝axsin x－32(a＞0)，且在0，π2上的最大值為π－32.

　　(1)求函數f(x)的解析式；(2)判斷函數f(x)在(0，π)內的零點個數，并加以證明.

　　1.求曲線的切線方程的方法是利用切線方程的公式y－y0＝f′(x0)(x－x0)，它的難點在于分清"過點P的切線"與"在點P處的切線"的差異.突破這個難點的關鍵是理解這兩種切線的不同之處在哪里，在過點P(x0，y0)的切線中，點P不一定是切點，點P也不一定在已知曲線上，而在點P(x0，y0)處的切線，必以點P為切點，則此時切線的方程是y－y0＝f′(x0)(x－x0).

　　2.我們借助于導數探究函數的零點，不同的問題，比如方程的解、直線與函數圖象的交點、兩函數圖象交點問題都可以轉化為函數零點問題.

　　3.研究函數圖象的交點、方程的根、函數的零點，歸根到底還是研究函數的性質，如單調性、極值，然后通過數形結合的思想找到解題的思路，因此使用的知識還是函數的單調性和極值的知識.

　　4.求函數零點或兩函數的交點問題，綜合了函數、方程、不等式等多方面知識，可以全面地考察學生對函數性質、函數圖象等知識的綜合應用能力，同時考察學生的變形、轉化能力.因此在高考壓軸題中占有比較重要的地位.

　　一、選擇題

　　1.曲線y＝xx＋2在點(－1，－1)處的切線方程為(　　)

　　A.y＝2x＋1                  B.y＝2x－1        C.y＝－2x－3                  D.y＝－2x－2

　　2.(2015·太原模擬)若曲線f(x)＝acos x與曲線g(x)＝x2＋bx＋1在交點(0，m)處有公切線，則a＋b的值為(　　)

　　A.－1                 B.0                      C.1                  D.2

　　3.(2015·邯鄲模擬)直線y＝kx＋1與曲線y＝x3＋ax＋b相切于點A(1，3)，則2a＋b的值為(　　)

　　A.2                  B.－1                  C.1                  D.－2

　　4.(2015·武漢模擬)曲線y＝xln x在點(e，e)處的切線與直線x＋ay＝1垂直，則實數a的值為(　　)

　　A.2                  B.－2                  C.12                  D.－12

　　5.已知e是自然對數的底數，函數f(x)＝ex＋x－2的零點為a，函數g(x)＝ln x＋x－2的零點為b，則下列不等式中成立的是(　　)

　　A.f(a)＜f(1)＜f(b)          B.f(a)＜f(b)＜f(1)            C.f(1)＜f(a)＜f(b)          D.f(b)＜f(1)＜f(a)

　　二、填空題

　　6.已知f(x)＝x3＋f′23x2－x，則f(x)的圖象在點23，f23處的切線斜率是________.

　　7.(2015·成都模擬)關于x的方程x3－3x2－a＝0有三個不同的實數解，則實數a的取值范圍是________.

　　8.設x3＋ax＋b＝0，其中a，b均為實數，下列條件中，使得該三次方程僅有一個實根的是________(寫出所有正確條件的編號).

　　①a＝－3，b＝－3；②a＝－3，b＝2；③a＝－3，b>2；④a＝0，b＝2；⑤a＝1，b＝2.

　　三、解答題

　　9.已知曲線C：y＝eax.

　　(1)若曲線C在點(0，1)處的切線為y＝2x＋m，求實數a和m的值；

　　(2)對任意實數a，曲線C總在直線l：y＝ax＋b的上方，求實數b的取值范圍.

　　10.(2015·濟南模擬)已知函數f(x)＝2ln x－x2＋ax(a∈R).

　　(1)當a＝2時，求f(x)的圖象在x＝1處的切線方程；

　　(2)若函數g(x)＝f(x)－ax＋m在1e，e上有兩個零點，求實數m的取值范圍.

　　11.(2015·江蘇卷)已知函數f(x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R).

　　(1)試討論f(x)的單調性；(2)若b＝c－a(實數c是與a無關的常數)，當函數f(x)有三個不同的零點時，a的取值范圍恰好是(－∞，－3)∪1，32∪32，＋∞，求c的值.

　　第5講　導數與不等式、存在性及恒成立問題

　　高考定位　在高考壓軸題中，函數與不等式交匯的試題是考查的熱點，一類是利用導數證明不等式，另一類是存在性及恒成立問題.

　　真 題 感 悟

　　(2015·福建卷改編)已知函數f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝kx(k∈R).

　　(1)證明：當x＞0時，f(x)＜x；

　　(2)證明：當k＜1時，存在x0＞0，使得對任意的x∈(0，x0)，恒有f(x)＞g(x).

　　考 點 整 合

　　1.常見構造輔助函數的四種方法

　　(1)移項法：證明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))的問題轉化為證明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，進而構造輔助函數h(x)＝f(x)－g(x).

　　(2)構造"形似"函數：對原不等式同解變形，如移項、通分、取對數，把不等式轉化為左右兩邊是相同結構的式子的結構，根據"相同結構"構造輔助函數.

　　(3)放縮法：若所構造函數最值不易求解，可將所證明不等式進行放縮，再重新構造函數.

　　(4)主元法：對于(或可化為)f(x1，x2)≥A的不等式，可選x1(或x2)為主元，構造函數f(x，x2)(或f(x，x1)).

　　2.利用導數解決不等式恒成立問題的"兩種"常用方法

　　(1)分離參數法：將原不等式分離參數，轉化為不含參數的函數的最值問題，利用導數求該函數的最值，根據要求得所求范圍.一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a即可.

　　(2)函數思想法：將不等式轉化為某含待求參數的函數的最值問題，利用導數求該函數的極值(最值)，然后構建不等式求解.

　　3.不等式的恒成立與能成立問題

　　(1)f(x)＞g(x)對一切x∈I恒成立?I是f(x)＞g(x)的解集的子集?[f(x)－g(x)]min＞0(x∈I).

　　(2)f(x)＞g(x)對x∈I能成立?I與f(x)＞g(x)的解集的交集不是空集?[f(x)－g(x)]max＞0(x∈I).

　　(3)對?x1，x2∈I使得f(x1)≤g(x2)?f(x)max≤g(x)min.(4)對?x1∈I，?x2∈I使得f(x1)≥g(x2)?f(x)min≥g(x)min.

　　熱點一　導數與不等式

　　[微題型1]　利用導數證明不等式

　　【例1－1】 已知函數f(x)＝ex－ln(x＋m).

　　(1)設x＝0是f(x)的極值點，求m，并討論f(x)的單調性；(2)當m≤2時，證明f(x)>0.

　　[微題型2]　不等式恒成立求參數范圍問題

　　【例1－2】 (1)已知函數f(x)＝ax－1－ln x，a∈R.①討論函數f(x)的單調區間；②若函數f(x)在x＝1處取得極值，對?x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2恒成立，求實數b的取值范圍.

　　(2)設f(x)＝xln xx＋1，若對?x∈[1，＋∞)，f(x)≤m(x－1)恒成立，求m的取值范圍.

　　【訓練1】 (2015·武漢模擬)設函數f(x)＝1－x2＋ln(x＋1).

　　(1)求函數f(x)的單調區間；(2)若不等式f(x)＞kxx＋1－x2(k∈N*)在(0，＋∞)上恒成立，求k的最大值.

　　熱點二　存在與恒成立問題

　　【例2】 (2015·南昌模擬)已知函數f(x)＝ln x－ax＋1－ax－1(a∈R).

　　(1)當a≤12時，討論f(x)的單調性；(2)設g(x)＝x2－2bx＋4，當a＝14時，若對任意x1∈(0，2)，存在x2∈[1，2]，使f(x1)≥g(x2)，求實數b的取值范圍.

　　【訓練2】 (2015·秦皇島模擬)已知函數f(x)＝ln x＋x2－ax(a為常數).

　　(1)若x＝1是函數f(x)的一個極值點，求a的值；

　　(2)當0＜a≤2時，試判斷f(x)的單調性；

　　(3)若對任意的a∈(1，2)，x0∈[1，2]，不等式f(x0)＞mln a恒成立，求實數m的取值范圍.

　　1.不等式恒成立、能成立問題常用解法有：

　　(1)分離參數后轉化為最值，不等式恒成立問題在變量與參數易于分離的情況下，采用分離參數轉化為函數的最值問題，形如a＞f(x)max或a＜f(x)min.

　　(2)直接轉化為函數的最值問題，在參數難于分離的情況下，直接轉化為含參函數的最值問題，伴有對參數的分類討論.

　　(3)數形結合.

　　2.利用導數證明不等式的基本步驟

　　(1)作差或變形；(2)構造新的函數h(x)；(3)利用導數研究h(x)的單調性或最值；

　　(4)根據單調性及最值，得到所證不等式.

　　3.導數在綜合應用中轉化與化歸思想的常見類型

　　(1)把不等式恒成立問題轉化為求函數的最值問題；

　　(2)把證明不等式問題轉化為函數的單調性問題；

　　(3)把方程解的問題轉化為函數的零點問題.

　　一、選擇題

　　1.已知函數f(x)＝13x3－2x2＋3m，x∈[0，＋∞)，若f(x)＋5≥0恒成立，則實數m的取值范圍是(　　)

　　A.179，＋∞          B.179，＋∞            C.(－∞，2]              D.(－∞，2)

　　2.若存在正數x使2x(x－a)＜1成立，則a的取值范圍是(　　)

　　A.(－∞，＋∞)          B.(－2，＋∞)        C.(0，＋∞)              D.(－1，＋∞)

　　3.(2015·合肥模擬)當x∈[－2，1]時，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，則實數a的取值范圍是(　　)

　　A.[－5，－3]         B.－6，－98            C.[－6，－2]             D.[－4，－3]

　　4.(2015·全國Ⅱ卷)設函數f′(x)是奇函數f(x)(x∈R)的導函數，f(－1)＝0，當x>0時，xf′(x)－f(x)＜0，則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是(　　)

　　A.(－∞，－1)∪(0，1)        B.(－1，0)∪(1，＋∞)      C.(－∞，－1)∪(－1，0)      D.(0，1)∪(1，＋∞)

　　5.已知函數f(x)＝2ax3－3ax2＋1，g(x)＝－a4x＋32，若任意給定的x0∈[0，2]，總存在兩個不同的xi(i＝1，2)∈[0，2]，使得f(xi)＝g(x0)成立，則實數a的取值范圍是(　　)

　　A.(－∞，－1)　　　　  B.(1，＋∞)        C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)              D.[－1，1]

　　二、填空題

　　6.設函數f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若對于任意x∈[－1，1]，都有f(x)≥0成立，則實數a的值為________.

　　7.已知函數f(x)＝x2＋mx－1，若對于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，則實數m的取值范圍是________.

　　8.已知函數f(x)＝x－1x＋1，g(x)＝x2－2ax＋4，若對于任意x1∈[0，1]，存在x2∈[1，2]，使f(x1)≥g(x2)，則實數a的取值范圍是________.

　　三、解答題

　　9.(2015·天津卷改編)已知函數f(x)＝nx－xn，x∈R，其中n∈N*，n≥2.

　　(1)討論f(x)的單調性；(2)設曲線y＝f(x)與x軸正半軸的交點為P，曲線在點P處的切線方程為y＝g(x)，求證：對于任意的正實數x，都有f(x)≤g(x).

　　10.(2014·新課標全國Ⅰ卷)設函數f(x)＝aexln x＋bex－1x，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為y＝e(x－1)＋2.

　　(1)求a，b；(2)證明：f(x)＞1.

　　11.已知函數f(x)＝mxx2＋n(m，n∈R)在x＝1處取得極值2.

　　(1)求函數f(x)的解析式；(2)設函數g(x)＝ln x＋ax，若對任意的x1∈R，總存在x2∈[1，e]，使得g(x2)≤f(x1)＋72，求實數a的取值范圍.

　　專題一 函數與導數、不等式 答案

　　第1講　函數圖象與性質及函數與方程

　　真 題 感 悟

　　1.解析　由于y＝sin x是奇函數；y＝ln x是非奇非偶函數；y＝x2＋1是偶函數但沒有零點；只有y＝cos x是偶函數又有零點.答案　A

　　2.解析　因為－2＜1，log212＞log28＝3＞1，所以f(－2)＝1＋log2[2－(－2)]＝1＋log24＝3，f(log212)＝2log212－1＝2log212×2－1＝12×12＝6，故f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9，故選C.

　　3.解析　如圖，由圖知：f(x)≥log2(x＋1)的解集為{x|－1<x≤1}.答案　C

　　4.解析　當a＞1時，f(x)＝ax＋b在定義域上為增函數，

　　∴a－1＋b＝－1，a0＋b＝0，方程組無解；當0＜a＜1時，f(x)＝ax＋b在定義域上為減函數，

　　∴a－1＋b＝0，a0＋b＝－1，解得a＝12，b＝－2.∴a＋b＝－32.   答案　－32

　　【例1－1】解析　(1)f(x)為偶函數，則ln(x＋a＋x2)為奇函數，所以ln(x＋a＋x2)＋ln(－x＋a＋x2)＝0，

　　即ln(a＋x2－x2)＝0，∴a＝1.

　　(2)∵ax＜ay，0＜a＜1，∴x＞y，∴x3＞y3.

　　(3)由函數f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，得f(0)＝f(2)，即2＝－2a＋6，解得a＝2.故選C.

　　答案　(1)1　(2)D　(3)C