2016高考數學：一個故事讓你理解羅素悖論

　　在某個城市中有一位理發師，他的廣告詞是這樣寫的：“本人的理發技藝十分高超，譽滿全城。我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉。我對各位表示熱誠歡迎！”來找他刮臉的人絡繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人。可是，有一天，這位理發師從鏡子里看見自己的胡子長了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他就屬于“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢？他又屬于“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉。

　　理發師悖論與羅素悖論是等價的：如果把每個人看成一個集合，這個集合的元素被定義成這個人刮臉的對象。那么，理發師宣稱，他的元素，都是城里不屬于自身的那些集合，并且城里所有不屬于自身的集合都屬于他。那么他是否屬于他自己？這樣就由理發師悖論得到了羅素悖論。反過來的變換也是成立的。

　　所以羅素悖論用數學式表達是這樣子的：設性質P(x)表示“x不屬于A”，現假設由性質P確定了一個類A——也就是說“A={x|x?A}”。那么問題是：A屬于A是否成立？首先，若A屬于A，則A是A的元素，那么A具有性質P，由性質P知A不屬于A；其次，若A不屬于A，也就是說A具有性質P，而A是由所有具有性質P的類組成的，所以A屬于A。