試 題
一、窗戶造型（滿分15分）
《中學生數學》雜志2000年第一期的封面是一幅歐洲教堂的照片，它是一座哥特式的建筑。建筑物上有一個窗戶的造型如下圖所示。圖中弧AB和弧AC分別是以C和B為圓心BC長為半徑的圓弧．☉
、☉
和☉
兩兩相切，并且☉、☉與弧AB相切， ☉、 ☉
與弧 AC相切，☉、☉
的半徑相等．如果使☉、☉
充分大，記BC的長度為a，請你計算出☉的半徑，并給出這個圓的作法．
二、買房貸款（滿分20分）
根據中國人民銀行頒布的《個人住房貸款管理辦法》（第十一條）“借款人應和貸款銀行制定還本付息計劃，貸款期限在一年以上的，按月歸還貸款本息”的規定，為方便貸款銀行操作和選擇，中國人民銀行具體規定了個人住房貸款的兩種按月還本付息的辦法，允許借款人和貸款銀行在雙方商議的基礎上做出選擇．
第一種辦法是等額本息還款法，其還款方式已經在1999年第三屆北京高中數學知識應用競賽初賽試題的第3題中作了介紹，并要求給出月均還款額、還款總額和利息負擔總和的計算公式．按照這些公式不難算出，一個人如果從銀行得到買房貸款40萬元，計劃20年還清貸款，按規定貸款的年利率應為5.58％（折合月利率4.65％。），這時貸款人的月均還款額應為0.27696萬元，還款總額為66.4717萬元，利息負擔總和為26.4717萬元．
第二種辦法是等額本金還款法（又叫等本不等息還款法），指在貸款期間內，每月除了要還清當月貸款的利息外，還要以相等的額度償還貸款的本金．這樣一來，每月償還的貸款的利息將隨本金的減少而逐月遞減．因此稱之為等本不等息還款法．如果這個貸款人選擇了等額本金還款法在20年內償還他所借的40萬元貸款，他只需要償還本息總合62.413萬元，其中利息負擔的總合為22.413萬元，比前一種還款方法少支付利息4.0587萬元，節省了15.33％的利息．
請你給出等額本金還款法的每月還款額、還款總額和利息負擔總和的計算公式，使用這些公式計算貸款初期的前三個月的每月還款額，并進一步分析貸款人還款多少個月之后他每個月的還款負擔將低于等額本息還款法的還款負擔．
三、環保規劃（滿分15分）
某工廠的一個車間生產某種產品，其成本為每公斤27元，售價為每公斤50元．在生產產品的同時，每公斤產品產生出0.3立方米的污水．污水有兩種排放方式：其一是輸送到污水處理廠，經處理（假設污水處理率為85％）后排人河流；其二是直接排人河流。若污水處理廠每小時最大處理能力是0.9立方米污水，處理成本是每立方米污水5元；環保部門對排人河流的污水收費標準是每立方米污水17.6元，根據環保要求該車間每小時最多允許排人河流中的污水是0.225立方米．試問：該車間應選擇怎樣的生產與排污方案，使其凈收益最大．
四、估算人口（滿分15分）
請你搜集有關的數據，估算一下我國2000年18歲的人口數．
五、隼的分類（滿分15分）
燕隼（sun）和紅隼是同屬于隼形目隼科的鳥類．它們的體形大小如鴿，形略似燕，身體的形態特征比較相似．紅隼的體形比燕隼略大．通過抽樣測量已知燕隼的平均體長約為31厘米，平均翅長約為27厘米；紅隼的平均體長約為35厘米，平均翅長約為25厘米。近日在某地發現了兩只形似燕隼的紅隼的鳥。經測量，知道這兩只鳥的體長和翅長分別為A（32.65厘米，25.2厘米），B（33.4厘米，26.9厘米）。你能否設計出一種近似的方法，利用這些數據判斷這兩只鳥是燕隼還是紅隼？
六、女子舉重（滿分20分）
2000年悉尼奧運會上第一次列入女子舉重的項目，各級別冠軍的成績如下：
|
級別
|
運動員
|
國籍
|
體重
|
抓舉
|
挺舉
|
總成績
|
|
48kg
53kg
58kg
63kg
69kg
75kg
>75kg
|
德拉諾娃
楊 霞
門丁維爾
陳曉敏
李偉寧
烏魯蒂亞
丁美媛
|
保加利亞
中 國
墨西哥
中 國
中 國
哥倫比亞
中 國
|
47.48kg
52.46kg
56.92kg
62.82kg
66.74kg
73.28kg
103.56kg
|
82.5kg
100kg
95kg
112.5kg
110kg
110kg
135kg
|
102.5kg
125kg
127.5kg
130kg
132kg
135kg
165kg
|
185kg
225kg
222.5kg
242.5kg
242kg
245kg
300kg
|
試利用這些數據組建模型，描述運動員舉重的總成績對運動員體重的依賴關系。根據模型分析哪些級別上運動員舉重的總成績還有較大的提高潛力。
參考答案
一、解 設☉、☉相切于點E，☉、☉
相切于點F，☉、☉
相切于點D，☉、與弧AB相切于點G。顯然，點F在
，點G在
的延長線上，且D⊥BC，易知☉和☉
的半徑為a/4。如果☉的半徑為r，則有
由此可得
解得 r=0.3a.
☉的半徑為r=0.3a，它的圓心是以為圓心，0.55a為半徑的圓與BC的中垂線的交點。
二、解 設貸款（本金）為N，貸款期限為n（月），月利率為
，則根據題意，每月償還的本金額應為
如果規定從貸款的第二個月開始于每個月的月初償還上個月所余的本金的利息及部分本金，則第k月的月底貸款人尚欠銀行的貸款額：
（k=1,2,...n.第k+1月的月初所償還的第k個月的欠款的利息為：
，k=1,2,...n.
第k+1月的月初的還款總額為：
，k=1，2，...n.
整個貸款期間利息的負擔總額為：
還款總額為：B=D+N。
對于上述實例我們有
N=40（萬元），n=240（月），
=4.654.65
，
D=22.413（萬元），B=62.413（萬元）。
與題中給出的結果一致。
還可以得得
由于定額本息還款法的月均還款額為a=0.27696（萬元），欲使定額本金還款法的月還款負擔低于上述月均還款額，則它應滿足
即要求
。
將a,N,n和的數值代入止式，可以得到k-1>97.69由此可知，從第99個月開始，即
從第九年的第三個月開始定額本金還款法的每月還款負擔就開始低于定額本息還款法。
三、解 設該車間凈收入為每小時車間污水產生量為 
；污水處理廠污
水處理量
；經污水處理廠處理后的污水排放量（l-0.85）（）；車間產品成本
；車間生產收入
；車間應交納排污費用 17. 6［（1- 0.85）（）+
］；車間交納的污水處理費為5（）．這樣車間每小時凈收人為：
由于污水處理廠的最大處理能力，有
；根據允許排入河流的最大污水量的限制，有
；輸送給污水處理廠的污水量應滿足
．
綜上所述，這個環保問題可歸納為以下數學模型：
下面用圖解法來角這個線性規劃問題：
（1）畫出可行域（圖中四邊形OABC）；
（2）求最優解；從圖中可以看出直線
在兩條直線
的交點上達到極大值。求出交點坐標（3.3,0.09);即當
時，z取得最大值，最大值為67.44.
四、解 要估算2000年18歲的人口數．由于2000年的統計資料我們還不能按集到，我們根據以往的統計數據進行推算．即根據2Q00年以前，如 1999年、1998年、…、1990年、…、等年份的數據進行推算．
這里給出兩種估算方法．一種是用年總人口數除以平均壽命，再根據人口分布情況進行調節，從而推算出18歲的人口數．
另一種我們以1998年的人口統計數據為依據，即根據1998年16歲的人口數來估算2000年18歲的人口數． 1998年中國人口統計年鑒中全國分年齡、性別的人口數表顯示：1998年全國16歲人口總數為22010千人．全國分年齡、性別的死亡人口狀況表顯示：1998年16歲到17歲、17歲到18歲人口的死亡率分別為1.21％。，1.16％。
假設每年的死亡率是個常數，則我們可以做如下的估算．
1999年17歲的人口數等于1998年16歲的人口數減去這些人成長到17歲的過程中死亡的人數．這些死亡人數由1998年16歲的人口數乘以17歲的死亡率得到．
即22010-22010×I．21％=21983（千人）．
2000年18歲的人口數等于1999年17歲的人口數減去這些人成長到18歲的過程中死亡的人數。這些死亡人數由1999年17歲的人口數乘以18歲的死亡率得到．
即 21983-21983×1.16％o=21957（千人）．
2000年18歲的人口數為21957千人．
注：從不同的資料中收集到的數據差異可能很大．只要說清楚資料的來源，并且數據處理方式合理，就可以認為答案正確，得滿分．如果自己假設一些數據作為資料來源，最多給5分；若僅是數據處理方式不當，可以給7分．
五、解法一 把（31，27），（35，25），（32．65，25．2），（31．4，26．9）看作平面直角坐標系中的點．
可以通過這兩只鳥體長和翅長所確定的點與燕隼和紅隼的平均體長和平均翅長所確定的點之間的距離的大小來判斷他們應歸屬于那一類．設燕隼的平均體長為
，平均翅長為 
．紅隼的平均體長為，平均超長為
．待判鳥的體長x，翅長為y，則它與燕隼和紅隼的距離分別為
由此可得判別規則：若
則判此鳥為紅隼，
則判此鳥為燕隼，
則表明僅用這些數據無法給出明確的判斷。
在問題中有
還有
由上面的模型可以得到如下的分析結果：
由于
可知鳥A是紅隼，
可知鳥B是紅隼。
（由于
等價于
，計算中可以不用開方）。
解法二 用體長與翅長的比
（體翅比）來進行判別。
不難算出，對于燕隼來說有
，對于紅隼
，而對于鳥A和鳥B分別有
，和
。于是可以算出
由于
，故鳥A為紅隼。
由于
，故鳥B為燕隼。
六、解 假設運動員舉重的總成績y與她們的體重x呈線性依賴關系y=a+bx。因此數據表中關于體重
和總成績
的七組數據將有關系
，i=1,2,...7,其中
表示觀測數據與模型的誤差。使用最小二乘法給出直線的參數a和b的估計值，也就是求參數a和b，使得觀測值和模型之間誤差的平方和達到最小。經計算可以得到a=120.91,b=1.76。由此得到運動員體重和舉重總成績的模型為
y=120.91+1.76x (1)
將七個運動員的體重代入模型（1），可以得到她們舉重成績的模型值。與她們的實際舉重總成績比較如下：
|
級別
|
48kg
|
53kg
|
58kg
|
63kg
|
69kg
|
75kg
|
>75kg
|
|
體重
|
47.48kg
|
52.46kg
|
56.92kg
|
66.74kg
|
73.28kg
|
73.28kg
|
103.56kg
|
|
實際
成績
|
185.00kg
|
225.00kg
|
222.50kg
|
242.00kg
|
245.00kg
|
245.00kg
|
300.00kg
|
|
模型（1）成績
|
204.50kg
|
213.30kg
|
221.10kg
|
238.40kg
|
249.90kg
|
249.90kg
|
303.20kg
|
從擬合效果上看有四個級別較好，一個級別較差；48公斤級別的運動員沒能取得理想的成績，使用這個數據參與建模將會增加誤差，降低模型的可信程度。去掉這組數據，使用其余的六組數據來估計模型的參數a和b。類似的計算可得a=141.8,b=1.51，于是得到修正的模型為
y=141.8+1.51x (2)
將七個運動員的體重代入模型（2），可以得到她們舉重成績的模型值。與她們的實際舉重成績及模型（1）成績比較如下：
|
級別
|
48kg
|
53kg
|
58kg
|
63kg
|
69kg
|
75kg
|
>75kg
|
|
體重
|
47.48kg
|
52.46kg
|
56.92kg
|
62.82kg
|
66.74kg
|
73.28kg
|
103.56kg
|
|
實際
成績
|
185.00kg
|
225.00kg
|
222.50kg
|
242.50kg
|
242.00kg
|
245.00kg
|
300.00kg
|
|
模型（1）成績
|
204.50kg
|
213.30kg
|
221.10kg
|
231.50kg
|
238.40kg
|
249.90kg
|
303.20kg
|
|
模型（2）成績
|
213.30kg
|
220.80kg
|
227.50kg
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236.40kg
|
242.30kg
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252.20kg
|
297.80kg
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從擬合效果上看，除去48公斤級以外的六個級別，模型（2）的總體擬合效果要優于模型（1）。因此可以用模型（2）來描述女子舉重總成績與運動員體重之間的關系。比較實際成績與模型（2）的成績，可以看出，48公斤、58公斤和75公斤級的實際成績均低于模型的成績，差數分別為28.3kg,5kg,7.2kg.因此可以認為，在這次比賽中上述幾個級別的成績還有提高潛力。
注1 這個問題也可以組建冪函數的模型
來擬合上面的數據，結論是：
和
（六組數據擬合的效果與線性模型差異不大，最后結論也相同。）
注2 48公斤的數據參與建模是不恰當的，因為它有較大的偏差，不能反映實際的規律。雖然利用七組數據所得的模型（1）也可以得到最后的結論，但模型的信度是較低的。如果此題僅用模型（1）而缺乏討論，在評分時要適當減掉一些分數。
