第三屆北京高中數(shù)學(xué)知識應(yīng)用競賽初賽

第三屆北京高中數(shù)學(xué)知識應(yīng)用競賽初賽

答卷要求： 　1．統(tǒng)一使用通用“數(shù)學(xué)作業(yè)紙”作為答卷，在班級欄中填寫上學(xué)校及年級．用少量膠水抹在紙的最上方，將所有答題紙按頁碼粘成一冊． 　2．答題時按試題號的順序書寫，不用抄題，但要注明題號． 　3．字跡要清晰，工整，準(zhǔn)確使用數(shù)學(xué)語言和符號． 　4．可以使用任何參考資料和計(jì)算工具. 　5．考試時間從12月17日16:00開始，12月20日8:00準(zhǔn)時交卷． 試　題： 　1．根據(jù)國家版權(quán)局《書籍稿酬暫行規(guī)定》，書籍稿酬由基本稿酬和印數(shù)稿酬組成． 　基本稿酬的標(biāo)準(zhǔn)為：（1）著作稿酬每千字10至30元，確有學(xué)術(shù)價值的，可適當(dāng)提高，但每千字不超過40元；（2）詞書稿有兩種計(jì)酬方法：其一是按一般著作稿標(biāo)準(zhǔn)另加15％至20％計(jì)算（詞條書目）；其二是按每千字20至30元計(jì)算，另增加20％至30％的基本稿酬（百科全書詞條）． 　印數(shù)稿酬的標(biāo)準(zhǔn)為：（1）一般書籍，印數(shù)在一萬冊以內(nèi)的，以一萬冊計(jì)算付基本稿酬的8％，印數(shù)超過一萬冊的，其超過部分每千冊付基本稿酬的0.8％．（2）確有學(xué)術(shù)價值而印數(shù)較少的專著，印數(shù)在一萬冊以內(nèi)的，以一萬冊計(jì)算付基本稿酬的30％，印數(shù)超過一萬冊的，計(jì)算方法同（1）． 　根據(jù)以上內(nèi)容，解答下列問題： 　（1）若印 x 千冊，試寫出每千字最高稿酬 f ( x )和每千字最低稿酬 g ( x )的函數(shù)關(guān)系式； 　（2）若王教授出叛了一本25.4萬字的書，印數(shù)1.8萬冊，試計(jì)算他可獲得的最高稿酬和最低稿酬． 　2．小童的父親要到美國訪問，受人之托希望多帶點(diǎn)東西，中國民航的《國際旅客須知》中有關(guān)“計(jì)件免費(fèi)行李額”中規(guī)定“適用于中美、中加國際航線上的行李運(yùn)輸……．經(jīng)濟(jì)和旅游折扣票價，免費(fèi)交運(yùn)的行李件數(shù)為兩件，每件箱體三邊之和不得超過62英寸（158厘米），但兩件之和不得超過107英寸（273厘米），每件最大重量不得超過32公斤．”試問這兩個箱子的長、寬、高各為多少可達(dá)最大體積？ 　請到市場上看看，商店出售的行李箱的尺寸與你計(jì)算所得結(jié)果是否近似？為什么？ 　3．今年年初由中國建設(shè)銀行北京市分行印發(fā)的《個人住房貸款簡介》的小冊子中介紹了有關(guān)個人住房貸款的有關(guān)問題．其中指明貸款額最高為擬購買住房費(fèi)用總額的70％；貸款期限最長為20年．個人住房貸款利率如附表1所示．借款人在借款期內(nèi)每月以相等的月均還款額償還銀行貸款本金和利息．附表2列出了在不同貸款期限下的月均還款額、還款總額和利息負(fù)擔(dān)總和．試給出公式說明附表2中后三列數(shù)是如何算出來的． 　近來經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)，中國人民銀行決定從1999年9月21日起，延長個人住房貸款期限并降低利率以支持城鎮(zhèn)居民購房．各商業(yè)銀行個人住房貸款的最長期限由現(xiàn)行的20年延長到30手．每筆貸款年限由商業(yè)銀行依據(jù)借款個人的年齡、工作年限、還款能力等因素與借款人協(xié)商確定．個人住房貸款年利率最高水平降為5.58％．并根據(jù)貸款期限劃分為兩個檔次：5年以下（含5年）為年利率5.31％，5年以上為年利率5.58％. 　請你根據(jù)新規(guī)定計(jì)算5年期、20年期的月均還款額、還款總額和利息負(fù)擔(dān)總和，并與原附表2中的同期貸款的負(fù)擔(dān)情況比較，住房貨款的負(fù)擔(dān)各降低了多少. 　附表1：中國建設(shè)銀行北京市分行個人住房貸款利率表 貸款期 1年(含)以下 1～3(含)年 3～5(含)年 5～10(含)年 10～20(含)年 月利率（‰） 5.10 5.325 5.55 6.00 6.30 年利率（％） 6.12 6.39 6.66 7.20 7.56 附表2：中國建設(shè)銀行北京市分行個人住房貸款1～20年月均還款金額表 （借款額為壹萬元） 　　　　　　　　　　　　　　　　 單位：元 貸款期限（年） 年利率（％） 還款總額 利息負(fù)擔(dān)總和 月均還款額 1 6.12 10612.00 612.00 一次還本付息 …… …… …… …… …… 5 6.66 11784.60 1784.60 196.41 …… …… …… …… …… 20 7.56 19423.20 9423.20 80.93 （本表自1998年12月7日起執(zhí)行） 　4．某化工廠從今年一月起，若不改善生產(chǎn)環(huán)境，按現(xiàn)狀生產(chǎn)，每月收入為70萬元，同時將受到環(huán)保部門的處罰，第一個月罰3萬元，以后逐月遞增2萬元．如果從今年—月起投資500萬元增加回粉凈化設(shè)備（改造設(shè)備時間不計(jì)），一方面可以改善環(huán)境，另一方面也可以大大降低原料成本．據(jù)測算投產(chǎn)后的前5個月中的累計(jì)凈收入是生產(chǎn)時間 n （以月為單位）的二次函數(shù)，生產(chǎn)前1、前2、前3個月的累計(jì)收入分別可達(dá)101萬元、204萬元和309萬元，以后穩(wěn)定在第5個月的水平．同時該廠不但不受處罰，而旦還將得到環(huán)保部門—次性100萬元的獎勵．問經(jīng)過多少個月，投資開始見效，即投資改造后的純收入多于不改造時的純收入． 　5．據(jù)世界人口組織公布，地球上的人口在公元元年為2.5億，1600年為5億，1830年為10億，1930年為20億，1960年為30億，1974年為40億，1987年為50億，到1999年底，地球上的人口數(shù)達(dá)到了60億．請你根據(jù)20世紀(jì)人口增長規(guī)律推測，到哪年世界人口將達(dá)到100億？到2100年地球上將會有多少人口？ 　6．國慶慶典活動的中心廣場有數(shù)萬名學(xué)生手持圓花組成大型圖案方陣，方陣前排距觀禮臺120米，方陣縱列95人，每列長度192米，問第一、二兩排間距多大能達(dá)到滿意的觀札效果？ 　7．在某1000個人中有10個人患有一種病，現(xiàn)要通過驗(yàn)血把這10個病人查出來，若采用逐個人化驗(yàn)的方法需化驗(yàn)999次，（這里所需化驗(yàn)次數(shù)是指在最壞情況下化驗(yàn)次數(shù)，如果碰巧，可能首先化驗(yàn)的10個人全是病人，10次化驗(yàn)就夠了．下面討論的化驗(yàn)次數(shù)均指最壞情況下的化驗(yàn)次數(shù)）． 　為了減少化驗(yàn)次數(shù)，人們采用分組化驗(yàn)的辦法，即把幾個人的血樣混在—起，先化驗(yàn)一次，若化驗(yàn)合格，則這幾個人全部正常，苦混合血樣不合格，說明這幾個人中有病人，再對它們重新化驗(yàn)（逐個化驗(yàn)，或再分成小組化驗(yàn)）． 　試給出一種分組化驗(yàn)方法使其化驗(yàn)次數(shù)盡可能地小，不超過100次．