2002年寧波市高二數(shù)學(xué)競(jìng)賽（第一試）

2009-08-31 12:15:20網(wǎng)絡(luò)來源

2002年寧波市高二數(shù)學(xué)競(jìng)賽（第一試）

（2002年3月23日上午8：30－10：00）

一、選擇題（本題滿分60分，每小題6分）

1．若實(shí)數(shù)集M={2a,a²-a}，則a的取值范圍是　　　　　　　　　　 (　　 )

　 (A) R　 (B) {a|a≠0,a∈R} (C) {a|a≠3,a∈R} (D) {a|a≠0且a≠3,a∈R}

2．滿足的最小正整數(shù)n是　　　　　　　　　　　 (　　 )

　 (A) 2499　　 (B) 2500 　(C) 2501　　 (D) 10000

3．過點(diǎn)的所有直線中，通過兩個(gè)不同有理點(diǎn)的直線的條數(shù)是　 (　　 )

　 (A) 0　　 (B) 無窮多　　 (C) 至少兩條　　 (D) 只有一條

4．橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁,F₂，過右焦點(diǎn)F₂作傾角為的弦AB，則△ABF₁的面積為　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　 (A) 　　(B) 　　(C) 　　(D)

5．函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(1-x)=f(1+x)恒成立，那么f(2002)=(　　 )

　 (A) 1　　 (B) 2002　　 (C) 0　　 (D) 不能確定

6．設(shè)，則　　 (　　 )

　 (A) a<b<c 　　(B) b<a<c　　 (C) a<c<b 　　(D) c<b<a

7．平行于棱錐底面的兩個(gè)平面將錐體體積三等分，從錐頂向錐底的方向上錐高被分成的三部分的比是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ( 　)

　 (A) 3:2:1　 (B) 　(C) 　　(D)

8．用一個(gè)平面去截一個(gè)n棱柱(n≥3,n∈N)，截去一個(gè)三棱錐，剩下的多面體頂點(diǎn)的數(shù)目是

　 (A) 2n-1,2n+1 (B) 2n-1,2n,2n+1,2n+2 (C) 2n-1,2n+1,2n+2 (D) 2n+1,2n+2

9．曲線與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　 (A) 　　(B) 　　(C) 　　(D)

10．設(shè)等差數(shù)列{a_n}滿足3a₈=5a₁₃，且a₁>0，S_n為其前n項(xiàng)之和，則S_n(n∈N)中最大的是

　 (A) S₁₀　　 (B) S₁₁　　 (C) S₂₀　　 (D) S₂₁

二、填空題（本題滿分90分，每小題6分）

11．關(guān)于x的不等式a x²-2002x+b>0的解集為(-3,-1)，那么不等式bx²+2002x+a>0的解集為　　　　 .

12．已知α是第三象限角，6sin²α+sinαcosα-2cos²α，則sin2α+cos2α的值是　　　　　 .

13．關(guān)于x的方程2x²-4x+a-1=0至少有一個(gè)正實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是　　　　　　 .

14．與x軸平行的直線l與雙曲線相交于M、N兩點(diǎn)，又與它的漸近線交于E、F兩點(diǎn)，E、F三等分線段MN，那么l與x軸的距離為　　　　　 .

15．一張2001×2002的方格紙，設(shè)一條直線l穿過的方格數(shù)為k，則k的最大值為　　　　 .

16．正數(shù)x,y滿足，那么　　　　 .

17．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，x₂₀₀₂=　　　 .

18．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BD₁與平面ACD₁所成的角為　　　　　　 .

19．某商品計(jì)劃減價(jià)，現(xiàn)有四種方案，方案①先減價(jià)m%。再減價(jià)n%；方案②先減價(jià)n%，再減價(jià)m%；方案③分兩次減價(jià)，每次減價(jià)%；方案④一次性減價(jià)(m+n)%。

已知m>n>0，那么四種方案中，方案　　　　　　　　減價(jià)最少。

20．方程sin⁴x+cos⁴x-sin2x+k>0恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是　　　　　　 .

21．?dāng)?shù)2x,1,y-1成等差數(shù)列，并且y+3,|x+1|+|x-1|,cos(arccosx)成等比數(shù)列，則x+y+xy=　　　　 .

22．已知函數(shù)y=||x-2|-a|的圖象與直線y=3恰好有3個(gè)交點(diǎn)，則這三個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為　　　　　　 .

23．使均為正整數(shù)的(x,y)共有　　　　　組.

24．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)之和S_n=n²，記，

則　　　　　 .

25．定點(diǎn)P(a,0)，Q是拋物線y²=4x上任一點(diǎn)，則|PQ|的最小值為　　　　 .