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        2000年全國高中數學聯賽試題

        2009-08-31 12:11:28網絡來源

        一、       選擇題(本題滿分36分,每小題6分)

        1.設全集是實數,若A={x|≤0},B={x|=},則是(   )
        (A){2}   (B){-1}     (C){x|x≤2}     (D)

        2.設sina>0,cosa<0,且sin>cos,則的取值范圍是(   )
        (A)(2kp+,2kp+), kÎZ       (B)(+,+),kÎZ
        (C)(2kp+,2kp+p),kÎZ      (D)(2kp+,2kp+)(2kp+,2kp+p),kÎZ

        3.已知點A為雙曲線x2-y2=1的左頂點,點B和點C在雙曲線的右分支上,△ABC是等邊三角形,則△ABC的面積是(   )
        (A)     (B)      (C)3      (D)6

        4.給定正數p,q,a,b,c,其中p¹q,若p,a,q是等比數列,p,b,c,q是等差數列,則一元二次方程bx2-2ax+c=0(   )
        (A)無實根  (B)有兩個相等實根  (C)有兩個同號相異實根  (D)有兩個異號實根

        5.平面上整點(縱、橫坐標都是整數的點)到直線的距離中的最小值是(   )
        (A)     (B)     (C)     (D)

        6.設,則以w,w3,w7,w9為根的方程是(   )
        (A)x4+x3+x2+x+1=0         (B) x4-x3+x2-x+1=0
        (C) x4-x3-x2+x+1=0         (D) x4+x3+x2-x-1=0

        二、填空題(本題滿分54分,每小題9分)

        7.arcsin(sin2000°)=__________.

        8.設an是(3-的展開式中x項的系數(n=2,3,4,…),則)=________.

        9.等比數列a+log23,a+log43,a+log83的公比是____________.

        10.      在橢圓(ab>0)中,記左焦點為F,右頂點為A,短軸上方的端點為B.若該橢圓的離心率是,則∠ABF=_________.

        11.      一個球與正四面體的六條棱都相切,若正四面體的棱長為a,則這個球的體積是________.

        12.      如果:(1)a,b,c,d都屬于{1,2,3,4};(2)a¹b,b¹c,c¹d,d¹a;(3)aa,b,c,d中的最小值,    那么,可以組成的不同的四位數的個數是_________.

        三、解答題(本題滿分60分,每小題20分)

        13.      設Sn=1+2+3+…+n,nÎN,求f(n)=的最大值.

        14.      若函數在區間[a,b]上的最小值為2a,最大值為2b,求[a,b].

        15.      已知C0:x2+y2=1和C1:(ab>0)。試問:當且僅當a,b滿足什么條件時,對C1上任意一點P,均存在以P為項點,與C0外切,與C1內接的平行四邊形?并證明你的結論。

        【加試】(10月15日上午10∶00-12∶00)

        一.(本題滿分50分)

        如圖,在銳角三角形ABCBC邊上有兩點EF,滿足∠BAE=∠CAF,作FMABFNACMN是垂足),延長AE交三角形ABC的外接圓于D.證明:四邊形AMDN與三角形ABC的面積相等.

         

         

         

         

         

         

         

         

         

        二.(本題滿分50分)

        設數列{a n}和{b n }滿足,且

        證明a n(n=0,1,2,…)是完全平方數.

         

         

         

         

         

        三.(本題滿分50分)

        n個人,已知他們中的任意兩人至多通電話一次,他們中的任意n-2個人之間通電話的次數相等,都是3 k次,其中k是自然數,求n的所有可能值.

        [標簽:數學聯賽 試題 試卷]

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