三角函數

幾何中的兩個基本量是：線段的長度和角的大小.三角函數的本質就是用線段長度之比來表示角的大小，從而將兩個基本量聯系在一起，使我們可以借助三角變換或三角計算來解決一些較難的幾何問題.三角函數不僅是一門有趣的學問，而且是解決幾何問題的有力工具.

1．  角函數的計算和證明問題

在解三角函數問題之前，除了熟知初三教材中的有關知識外，還應該掌握：

（1）三角函數的單調性 當a為銳角時，sina與tga的值隨a的值增大而增大；cosa與ctga隨a的值增大而減小；當a為鈍角時，利用誘導公式轉化為銳角三角函數討論.

注意到sin45°=cos45°=,由(1)可知,當時0＜a＜45°時,cosa＞sina;當45°＜a＜90°時,cosa＜sina.

(2)三角函數的有界性|sina|≤1,|cosa|≤1,tga、ctga可取任意實數值（這一點可直接利用三角函數定義導出）.

例1（1986年全國初中數學競賽備用題）在△ABC中，如果等式sinA+cosA=成立，那么角A是（   ）

（A）銳角    （B）鈍角    （C）直角

分析  對A分類，結合sinA和cosA的單調性用枚舉法討論.

解當A=90°時，sinA和cosA=1；

當45°＜A＜90°時sinA＞，cosA＞0，

∴sinA+cosA＞

當A=45°時，sinA+cosA=

當0＜A＜45°時，sinA＞0,cosA＞

∴sinA+cosA＞

∵1, 都大于.

∴淘汰（A）、（C），選（B）.

例2（1982年上海初中數學競賽題）ctg67°30′的值是（   ）

（A）-1    （B）2-   （C）-1

（D）       （E）

分析  構造一個有一銳角恰為67°30′的Rt△，再用余切定義求之.

解  如圖36-1，作等腰Rt△ABC，設∠B=90°，AB=BC=1.延長BA到D使AD=AC，連DC，則AD=AC=，∠D=22.5°,∠DCB=67.5°.這時，

ctg67°30′=ctg∠DCB=

∴選(A).

例3(1990年南昌市初中數學競賽題)如圖,在△ABC中,∠A所對的BC邊的邊長等于a,旁切圓⊙O的半徑為R,且分別切BC及AB、AC的延長線于D，E，F.求證:

R≤a·

證明  作△ABC的內切圓O′,分別切三邊于G,H,K.由對稱性知GE=KF(如圖36-2).設GB=a，BE=x，KC=y,CF=b.則

x+a=y+b,       ①

且BH=a,BD=x,HC=y,DC=b.于是,

x-a=y-b.        ②

①+②得,x=y.從而知a=b.

∴GE=BC=a.

設⊙O′半徑為r.顯然R+r≤OO′ (當AB=AC)時取等號.

作O′M⊥EO于M,則O′M=GE=a,∠OO′M=

∴R+r≤

兩式相加即得R≤.

例4（1985年武漢等四市初中聯賽題）凸4n+2邊形A₁A₂A₃…A_4n+2（n為自然數）各內角都是30°的整數倍，已知關于x的方程：

x²+2xsinA₁+sinA₂=0               ①

x²+2xsinA₂+sinA₃=0               ②

x²+2xsinA₃+sinA₁=0               ③

都有實根，求這凸4n+2邊形各內角的度數.

解∵各內角只能是、、、，

∴正弦值只能取

當sinA₁=時，∵sinA₂≥sinA₃≥

∴方程①的判別式

△₁=4（sin²A₁-sinA₂）≤440

方程①無實根，與已知矛盾，故sinA₁≠.

當sinA₁=時，sinA₂≥，sinA₃≥，

∴方程①的判別式

△₁=4（sin²A₁-sinA₂）=0.

方程①無實根，與已知矛盾，故sinA₁=.

綜上所述，可知sinA₁=1，A₁=.

同理，A₂=A₃=.

這樣其余4n-1個內角之和為這些角均不大于

又n為自然數，∴n=1,凸n邊形為6邊形,且  

A₄+A₅+A₆=4×

2.解三角形和三角法

定理  

推論設  a、b、c、S與a′、b′、c′、S′.若

我們在正、余弦定理之前介紹上述定理和推論是為了在解三角形和用三角函數解幾何題時有更大的自由.

（1）       解三角形

例5（第37屆美國中學生數學競賽題）在圖36-3中，AB是圓的直徑，CD是平行于AB的弦，且AC和BD相交于E，∠AED=α,△CDE和△ABE的面積之比是(  ).

(A)cosα(B)sinα(C)cos²α(D)sin²α(E)1-sinα

解  如圖，因為AB∥DC,AD=CB,且△CDE∽△ABE,BE=AE,因此連結AD，因為AB是直徑，所以∠ADB=在直角三角形ADE中，DE=AEcosα.

∴應選(C).

例6          (1982年上海初中數學競賽題)如圖36-4,已知Rt△斜邊AB=c, ∠A=α,求內接正方形的邊長.

解  過C作AB的垂線CH，分別與GF、AB交于P、H，則由題意可得

又∵△ABC∽△GFC，∴，即

（2）       三角法.利用三角知識（包括下一講介紹的正、余弦定理）解幾何問題的方法叫三角法.其特點是將幾何圖形中的線段，面積等用某些角的三角函數表示，通過三角變換來達到計算和證明的目的，思路簡單，從而減少幾何計算和證明中技巧性很強的作輔助線的困難.

例7（1986年全國初中數學競賽征集題）如圖36-5，在△ABC中，BE、CF是高，∠A=，則△AFE和四邊形FBCE的面積之比是（  ）

（A）      1∶2（B）2∶3（C）1∶1（D）3∶4

解   由BE、CF是高知F、B、C、E四點共圓，得AF·AB=AE·AC.

在Rt△ABE中，∠ABE=，

∴S_△AFE∶S_FBCE=1∶1.應選(C).

例8   (1981年上海中學生數學競賽題)在△ABC中∠C為鈍角,AB邊上的高為h,求證:AB＞2h.

證明  如圖36-6,AB=AD+BD=h(ctgA+ctgB)     ①

∵∠C是鈍角,∴∠A+∠B＜,∴ctgB＞ctg(-A)=tgA.②

由①、②和代數基本不等式，得

例9          （第18屆國際數學競賽題）已知面積為32cm²的平面凸四邊形中一組對邊與一條對角線之長的和為16cm.試確定另一條對角線的所有可能的長度.

解   如圖36-7，設四邊形ABCD面積S為32cm^2，并設AD=y,AC=x,BC=z.則x+y+z=16(cm)由但S=32，∴sinθ=1,sin =1,且x-8=0.故θ==且x=8,y+z=8.這時易知另一條對角線BD的長為此處無圖

例10       (1964年福建中學數學競賽題)設a、b、c是直角三角形的三邊，c為斜邊，整數n≥3,求證:aⁿ+bⁿ＜cⁿ.

分析  如圖34-8,注意到Rt△ABC的邊角關系:a=csinα＞0,b=ccosα＞0,可將不等式轉化為三角不等式sinⁿα+cosⁿα＜1來討論.

證明   設直角三角形一銳角∠BAC=α(如圖),則