不等式

　　不等式是數學競賽的熱點之一。由于不等式的證明難度大，靈活性強，要求很高的技巧，常常使它成為各類數學競賽中的“高檔”試題。而且，不論是幾何、數論、函數或組合數學中的許多問題，都可能與不等式有關，這就使得不等式的問題（特別是有關不等式的證明）在數學競賽中顯得尤為重要。

　　證明不等式同大多數高難度的數學競賽問題一樣，沒有固定的模式，證法因題而異，靈活多變，技巧性強。但它也有一些基本的常用方法，要熟練掌握不等式的證明技巧，必須從學習這些基本的常用方法開始。

　　一、不等式證明的基本方法

　　1．比較法

　　比較法可分為差值比較法和商值比較法。

　　（1）差值比較法

　　原理A－B＞0A＞B．

　　【例1】（l）m、n是奇偶性相同的自然數，求證：

　　（am＋bm）（an＋bn）＜2（am+n+bm+n）。

　　（2）證明：··≤。

　　【例2】設a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn，j1,j2,…,jn是1,2,…,n的任意一個排列，令

　　S=a1+a2+…+an，S0=a1bn+a2bn-1+…+anb1，S1=a1b1+a2b2+…+anbn。

　　求證：S0≤S≤S1。

　　（2）商值比較法

　　原理若>1，且B>0，則A>B。

　　【例3】已知a,b,c>0，求證：a2ab2bc2c≥ab+cbc+aca+b。

　　2．分析法

　　【例4】若x,y>0，求證：>。

　　【例5】若a,b,c是△ABC的三邊長，求證：a4+b4+c4<2(a2b2+b2c2+c2a2)。

　　3．綜合法

　　【例6】若a,b,c>0，求證：abc≥(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)。

　　【例7】已知△ABC的外接圓半徑R=1，S△ABC=，a,b,c是△ABC的三邊長，令

　　S=，t=。

　　求證：t>S。

　　4．反證法

　　【例8】已知a3+b3=2，求證：a+b≤2。

　　5．數學歸納法

　　【例9】證明對任意自然數n，。

　　二、不等式證明的若干技巧

　　無論用什么方法來證明不等式，都需要對數學表達式進行適當的變形。這種變形往往要求具有很高的技巧，必須善于分析題目的特征，根據題設條件，綜合地利用添、拆、分解、組合、配方、變量代換、數形結合等方法才能發現問題的本質，找到突破口。

　　1．變形技巧

　　【例1】若n∈N，S=++···+，

　　求證：n<S<n+1。

　　【例2】（1）若A、B、C∈[0，π]，求證：

　　sinA+sinB+sinC≤3sin。

　　（2）△ABC的三內角平分線分別交其外接圓于A‘,B’,C‘，求證：S△ABC≤S△A’B‘C’。

　　2．引入參變量

　　【例3】將一塊尺寸為48×70的矩形鐵皮剪去四角小正方形后折成一個無蓋長方體鐵盒，求鐵盒的最大容積。

　　【例4】在△ABC中，求證：a2+b2+c2≥4△+(b-c)2+(c-a)2+(a-b)2。

　　其中，a,b,c是△ABC的三邊長，△=S△ABC。

　　3．數形結合、構造

　　【例5】證明：≤。

　　4．遞推

　　【例6】已知：x1=，x2=，···，xn=。求證：。

　　三、放縮法

　　【例1】若n∈N，n≥2，求證：。

　　【例2】α、β都是銳角，求證：≥9。

　　【例3】已知：a1≥1，a1a2≥1，···，a1a2···an≥1，求證：

　　。

　　【例4】S=1+++···+，求S的整數部分[S]。

　　【例5】設a0=5，an=an-1+，n=1,2,···。求證：45<a1000<45.1。