關(guān)于“四色問題”的證明

　　“四色問題”是世界數(shù)學(xué)史上一個(gè)非常著名的證明難題，它要求證明在平面地圖上只要用四種顏色就能使任何復(fù)雜形狀的各塊相鄰區(qū)域之間顏色不會(huì)重復(fù)，也就是說相互之間都有交界的區(qū)域最多只能有四塊。一百五十多年來有許多數(shù)學(xué)家用了很長時(shí)間，化了很多精力才能證明這個(gè)問題。前些日子報(bào)刊上曾有報(bào)道說：有好幾位大學(xué)生用好幾臺(tái)電子計(jì)算機(jī)聯(lián)合起來化了十幾個(gè)小時(shí)才證明了這個(gè)問題。本人在二十多年前就知道有這么一個(gè)“四色問題”，可一直找不到證明它的方法。現(xiàn)在我剛接觸到“拓?fù)鋵W(xué)”，其實(shí)用“拓?fù)鋵W(xué)”原理一分析，“四色問題”就象當(dāng)年歐拉把“七橋問題”看成是經(jīng)過四個(gè)點(diǎn)不重復(fù)的七條線段的“一筆畫”一樣簡單，連一般的小學(xué)生都能證明它。

　　根據(jù)“拓?fù)鋵W(xué)”原理，任何復(fù)雜形狀的每一塊區(qū)域都可看成是一個(gè)點(diǎn)，兩塊區(qū)域之間相互有交界的可看成這兩點(diǎn)之間有連線，只要證明在一個(gè)平面內(nèi)，相互之間都有連線的點(diǎn)不會(huì)超過四個(gè)，也就證明了“四色問題”。

　　平面內(nèi)的任意一個(gè)點(diǎn)A可與許許多多的點(diǎn)B、C、D……X、Y、Z有連線（如圖1所示），同樣B點(diǎn)也可與其它點(diǎn)有連線，C、D……X、Y、Z各點(diǎn)也可與其它點(diǎn)有連線。但有一個(gè)原則：各連線之間不能相互交叉，因?yàn)橐坏┙徊婢蜁?huì)產(chǎn)生一條連線隔斷另一條連線（如圖2所示），BC的連線就隔斷了AD的連線。但有人會(huì)說：兩點(diǎn)間的連線可有許多條，AD連線可繞到B點(diǎn)或C點(diǎn)以外（圖2中虛線所示）不就沒有交叉了嗎？可是這樣一繞就產(chǎn)生一個(gè)結(jié)果：原來在一個(gè)封閉圖形外的點(diǎn)變成了封閉圖形內(nèi)的點(diǎn)。下面就通過對(duì)封閉圖形的分析來證明相互之間都有連線的點(diǎn)不超過四個(gè)。

　　一個(gè)點(diǎn)本身或兩個(gè)點(diǎn)之間的連線都可形成一個(gè)或多個(gè)封閉圖形（如圖3所示）。三個(gè)相互之間都有連線的點(diǎn)從A點(diǎn)連到B點(diǎn)再到C點(diǎn)又回到A點(diǎn)（如圖4所示），必定會(huì)造成圖形的封閉。封閉圖形上的點(diǎn)若多于四點(diǎn)（如圖5所示），從第三點(diǎn)C起各點(diǎn)與第一點(diǎn)A的連線又將整個(gè)封閉圖形分割成許多小的封閉圖形。因此得出結(jié)論①：同一平面上任何三個(gè)相互之間都有連線的點(diǎn)，它們之間的連線必定會(huì)形成至少一個(gè)封閉圖形。我們況且叫作三點(diǎn)連線封閉定律。

　　平面上任何第四點(diǎn)可以是在上述三點(diǎn)連線構(gòu)成的封閉圖形內(nèi)，也可以在封閉圖形外（如圖6中D點(diǎn)和D′點(diǎn)），D點(diǎn)可分別與A、B、C點(diǎn)有連線，D′點(diǎn)也可分別與A、B、C點(diǎn)有連線。D點(diǎn)與A、B、C點(diǎn)的連線把封閉圖形ABC分割成三個(gè)小的封閉圖形，D′點(diǎn)與A、B、C點(diǎn)的三條連線中一定有一條被夾在另兩條中間，圖6中D′A線被D′B線與

　　D′C線夾在中間，A點(diǎn)被封閉圖形BCD′所包圍，與D點(diǎn)在封閉圖形ABC中情況相同。因此得出結(jié)論②：同一平面上任何四個(gè)相互之間都有連線的點(diǎn)中，必定有一個(gè)點(diǎn)被另三個(gè)點(diǎn)連線所形成的封閉圖形所包圍。我們況且叫作四點(diǎn)連線包圍定律。

　　那么平面上有沒有第五點(diǎn)能分鷯肷鮮鏊牡愣加辛?吣兀渴紫日獾諼宓鉋若要與第四點(diǎn)D有連線就必須也在封閉圖形ABC里面，其次這第五點(diǎn)不能落在各條連線上，否則會(huì)隔斷這條連線。第五點(diǎn)只能落在E1、E2、E3位置（如圖7所示），而這三個(gè)位置上的點(diǎn)分別只能與包圍它的小封閉圖形上的三個(gè)點(diǎn)有連線，而不能與第四點(diǎn)有連線，若要有連線必定會(huì)隔斷其它連線。因此得出結(jié)論③：同一平面上任何相互之間都有連線的點(diǎn)最多只能有四個(gè)，若第五點(diǎn)要與這四點(diǎn)有連線，必定會(huì)使其中兩點(diǎn)的連線中斷。我們況且叫作五點(diǎn)連線必?cái)喽�律。這就是要求證明的“四色問題”。

　　以上是在同一平面上證明了“四色問題”。如果各區(qū)域圖是分布在立體形的表面（比如地球儀），我們根據(jù)拓?fù)鋵W(xué)基本原理可以把這個(gè)立體形看成扁平形的，把圖6中的D點(diǎn)看成在平面前，把D'點(diǎn)看成在平面后，這兩點(diǎn)若要有連線除非從平面中穿孔而過或者從立體形表面外的空間跨過去，否則這兩點(diǎn)被封閉圖形ABC所隔開是不可能有連線的。這個(gè)立體形可以是只要中間不穿孔的任何形狀，因?yàn)椴还苣惚砻嫒绾卫饫饨墙恰�凹凸不平，從拓�(fù)鋵W(xué)來看都與球形是一樣性質(zhì)的，這好比一個(gè)氣球在充氣前可以是任何形狀，充氣后總是接近球形。但立體形中間有穿孔的情況就不同了，它最后不會(huì)變成球形只能變成車輪內(nèi)胎狀的環(huán)形，前面的第四點(diǎn)與后面的第五點(diǎn)能通過中間的孔有連線。上面還提到的從立體形表面外的空間跨過去，跨過去的部分實(shí)際上與原來的立體形組成了一個(gè)環(huán)形，最后也能變成車輪內(nèi)胎狀。所以得出結(jié)論：中間沒穿孔的立體形表面上相互之間都有連線的點(diǎn)最多只能有四個(gè)。