應(yīng)用題
2009-08-29 21:40:59網(wǎng)絡(luò)來(lái)源
應(yīng)用題選講
應(yīng)用題聯(lián)系實(shí)際，生動(dòng)地反映了現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系，能否從具體問(wèn)題中歸納出數(shù)量關(guān)系，反映了一個(gè)人分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的實(shí)際能力.
列方程解應(yīng)用題，一般應(yīng)有審題、設(shè)未知元、列解方程、檢驗(yàn)、作結(jié)論等幾個(gè)步驟.下面從幾個(gè)不同的側(cè)面選講一部分競(jìng)賽題，從中體現(xiàn)解應(yīng)用題的技能和技巧.
1.合理選擇未知元
例1 （1983年青島市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）某人騎自行車從A地先以每小時(shí)12千米的速度下坡后，以每小時(shí)9千米的速度走平路到B地，共用55分鐘.回來(lái)時(shí)，他以每小時(shí)8千米的速度通過(guò)平路后，以每小時(shí)4千米的速度上坡，從B地到A地共用小時(shí)，求A、B兩地相距多少千米？
解法1 （選間接元）設(shè)坡路長(zhǎng)x千米，則下坡需
依題意列方程：
解之，得x=3.
答：A、B兩地相距9千米.
解法2（選直接元輔以間接元）設(shè)坡路長(zhǎng)為x千米，A、B兩地相距y千米，則有如下方程組
解法3（選間接元）設(shè)下坡需x小時(shí)，上坡需y小時(shí)，依題意列方程組：
例2 （1972年美國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）若一商人進(jìn)貨價(jià)便誼8%，而售價(jià)保持不變，那么他的利潤(rùn)（按進(jìn)貨價(jià)而定）可由目前的x%增加到(x+10)%，x等于多少？
解 本題若用直接元x列方程十分不易，可引入輔助元進(jìn)貨價(jià)M，則0.92M是打折扣的價(jià)格，x是利潤(rùn)，以百分比表示，那么寫(xiě)出售貨價(jià)（固定不變）的等式，可得：
M（1+0.01x）=0.92M[1+0.01（x+10）].
約去M，得
1+0.01x=0.92[1+01.1（x+10）].
解之，得 x=15.
例3 在三點(diǎn)和四點(diǎn)之間，時(shí)鐘上的分針和時(shí)針在什么時(shí)候重合？
分析 選直接元，設(shè)兩針在3點(diǎn)x分鐘時(shí)重合，則這時(shí)分針旋轉(zhuǎn)了x分格，時(shí)針旋轉(zhuǎn)了（x-15）分析，因?yàn)榉轴樞D(zhuǎn)的速度是每分鐘1分格，旋轉(zhuǎn)x分格需要分鐘，時(shí)針旋轉(zhuǎn)的速度是每分鐘分格，旋轉(zhuǎn)（x-15）分格要
例4（1985年江蘇東臺(tái)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）從兩個(gè)重為m千克和n千克，且含銅百分?jǐn)?shù)不同的合金上，切下重量相等的兩塊，把所切下的每一塊和另一種剩余的合金加在一起熔煉后，兩者的含銅百分?jǐn)?shù)相等，問(wèn)切下的重量是多少千克？
解 采用直接元并輔以間接元，設(shè)切下的重量為x千克，并設(shè)m千克的銅合金中含銅百分?jǐn)?shù)為q1，n千克的銅合金中含銅百分?jǐn)?shù)為q2，則切下的兩塊中分別含銅xq1千克和xq2千克，混合熔煉后所得的兩塊合金中分別含銅[xq1+(n-x)q2]千克和[xq2+(m-x)q1]千克，依題意，有：
2.多元方程和多元方程組
例5 （1986年揚(yáng)州市初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）A、B、C三人各有豆若干粒，要求互相贈(zèng)送，先由A給B、C，所給的豆數(shù)等于B、C原來(lái)各有的豆數(shù)，依同法再由B給A、C現(xiàn)有豆數(shù)，后由C給A、B現(xiàn)有豆數(shù)，互送后每人恰好各有64粒，問(wèn)原來(lái)三人各有豆多少粒？
解 設(shè)A、B、C三人原來(lái)各有x、y、z粒豆，可列出下表：
則有：
解得：x=104，y=56，z=32.
答：原來(lái)A有豆104粒，B有56粒，C有32粒.
例6（1985年寧波市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）某工廠有九個(gè)車間，每個(gè)車間原有一樣多的成品，每個(gè)車間每天能生產(chǎn)一樣多的成品，而每個(gè)檢驗(yàn)員檢驗(yàn)的速度也一樣快，A組8個(gè)檢驗(yàn)員在兩天之間將兩個(gè)車間的所有成品（所有成品指原有的和后來(lái)生產(chǎn)的成品）檢驗(yàn)完畢后，再去檢驗(yàn)另兩個(gè)車間的所有成品，又用了三天檢驗(yàn)完畢，在此五天內(nèi)，B組的檢驗(yàn)員也檢驗(yàn)完畢余下的五個(gè)車間的所有成品，問(wèn)B組有幾個(gè)檢驗(yàn)員？
解 設(shè)每個(gè)車間原有成品x個(gè)，每天每個(gè)車間能生產(chǎn)y個(gè)成品；則一個(gè)車間生產(chǎn)兩天的所有成品為（x+2y）個(gè)，一個(gè)車間生產(chǎn)5天的所有成品為(x+5y)個(gè)，由于A組的8個(gè)檢驗(yàn)員每天的檢驗(yàn)速度相等，可得
解得：x=4y
一個(gè)檢驗(yàn)員一天的檢驗(yàn)速度為：
又因?yàn)锽組所檢驗(yàn)的是5個(gè)車間，這5個(gè)車間生產(chǎn)5天的所有成品為5(x+5y)個(gè)，而這5(x+5y)個(gè)成立要B組的人檢驗(yàn)5天，所以B組的人一天能檢驗(yàn)(x+5y)個(gè).
因?yàn)樗袡z驗(yàn)員的檢驗(yàn)速度都相等，所以，(x+5y)個(gè)成品所需的檢驗(yàn)員為：
�。ㄈ耍�.
答：B組有12個(gè)檢驗(yàn)員.
3.關(guān)于不等式及不定方程的整數(shù)解
例7（1985年武漢市初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）把若干顆花生分給若干只猴子，如果每只猴子分3顆，就剩下8顆；如果每只猴子分5顆，那么最后一只猴子得不到5顆，求猴子的只數(shù)和花生的顆數(shù).
解：設(shè)有x只猴子和y顆花生，則：
y-3x=8, ①
5x-y＜5， ②
由①得：y=8+3x, ③
�、鄞擘诘�5x-(8+3x)＜5,
∴ x＜6.5
因?yàn)閥與x都是正整數(shù)，所以x可能為6，5，4，3，2，1，相應(yīng)地求出y的值為26，23，20，17，14，11.
經(jīng)檢驗(yàn)知，只有x=5，y=23和x=6，y=26這兩組解符合題意.
答：有五只猴子，23顆花生，或者有六只猴子，26顆花生.
例8（1986年上海初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）在一次射箭比賽中，已知小王與小張三次中靶環(huán)數(shù)的積都是36，且總環(huán)數(shù)相等，還已知小王的最高環(huán)數(shù)比小張的最高環(huán)數(shù)多（中箭的環(huán)數(shù)是不超過(guò)10的自然數(shù)），則小王的三次射箭的環(huán)數(shù)從小到大排列是多少？
解 設(shè)小王和小張三次中靶的環(huán)數(shù)分別是x、y、z和a、b、c,不妨設(shè)x≤y≤z，a≤b≤c，由題意，有：
因?yàn)榄h(huán)數(shù)為不超過(guò)10的自然數(shù)，首先有z≠10，否則與①式矛盾.
若設(shè)z=9,則由①知：xy=4,
∴x=2,y=2,或x=1,y=4,
∴x+y+z=13或x+y+z=14.
又由②及c＜z知，c|36，∴c=6，這時(shí)，ab=6.
∴a=2，b=3，或a=1，b=6
∴a+b+c=11或a+b+c=13
又由③知：x+y+z=a+b+c=13
∴取x=2，y=2，z=9.
答：小王的環(huán)數(shù)分別為2環(huán)，2環(huán)，9環(huán).
例9（1980年蘇聯(lián)全俄第6屆中學(xué)生物理數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）一隊(duì)旅客乘坐汽車，要求每輛汽車的乘客人數(shù)相等，起初，每輛汽車乘了22人，結(jié)果剩下一人未上車；如果有一輛汽車空車開(kāi)走，那么所有旅客正好能平均分乘到其它各車上，已知每輛汽車最多只能容納32人，求起初有多少輛汽車？有多少名旅客？
解 設(shè)起初有汽車k輛，開(kāi)走一輛空車后，平均每輛車所乘的旅客為n名，顯然，k≥2，n≤32，由題意，知：22k+1=n(k-1)，
∴k-1=1，或k-1=23,
即k=2，或k=24.
當(dāng)k=2時(shí)，n=45不合題意，
當(dāng)k=24時(shí),n=23合題意，
這時(shí)旅客人數(shù)為n(k-1)=529.
答：起初有24輛汽車，有529名旅客
4.應(yīng)用題中的推理問(wèn)題
競(jìng)賽中常見(jiàn)的應(yīng)用題不一定是以求解的面目出現(xiàn)，而是一種邏輯推理型.解答這類題目不僅需要具備較強(qiáng)的分析綜合能力，還要善于用準(zhǔn)確簡(jiǎn)練的語(yǔ)言來(lái)表述自己正確的邏輯思維.
例10（1986年加拿大數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）有一種體育競(jìng)賽共含M個(gè)項(xiàng)目，有運(yùn)動(dòng)員A、B、C參加，在每個(gè)項(xiàng)目中，第一、二、三名分別得p1、p2、p3分，其中p1、p2、p3為正整數(shù)且p1＞p2＞p3，最后A得22分，B與C均得9分，B在百米賽中取得第一，求M的值，并問(wèn)在跳高中誰(shuí)取得第二名？
分析 考慮三個(gè)得的總分，有方程：
M(p1+p2+p3)=22+9+9=40, ①
又 p1+p2+p3≥1+2+3=6， ②
∴6M≤M(p1+p2+p3)=40，從而M≤6.
由題設(shè)知至少有百米和跳高兩個(gè)項(xiàng)目，從而M≥2，
又M|40，所以M可取2、4、5.
考慮M=2，則只有跳高和百米，而B(niǎo)百米第一，但總分僅9分，故必有：9≥p1+p3,∴≤8，這樣A不可能得22分.
若M=4，由B可知：9≥p1+3p3，又p3≥1，所以p1≤6,若p1≤5，那么四項(xiàng)最多得20分，A就不可能得22分，故p1=6.
∵4（p1+p2+p3）=40,∴p2+p3=4.
故有：p2=3,p3=1,A最多得三個(gè)第一，一個(gè)第二，一共得分3×6+3=21＜22，矛盾.
若M=5，這時(shí)由5(p1+p2+p3)=40，得：
p1+p2+p3=8.若p3≥2，則：
p1+p2+p3≥4+3+2=9，矛盾，故p3=1.
又p1必須大于或等于5,否則,A五次最高只能得20分,與題設(shè)矛盾,所以p1≥5.
若p1≥6，則p2+p3≤2，這也與題設(shè)矛盾，∴p1=5，p2+p3=3，即p2=2，p3=1.
A=22=4×5+2.
故A得了四個(gè)第一，一個(gè)第二；
B=9=5+4×1，
故B得了一個(gè)第一，四個(gè)第三；
C=9=4×2+1，
故C得了四個(gè)第二，一個(gè)第三.
練 習(xí)五
1.選擇題
�。�1）打開(kāi)A、B、C每一個(gè)閥門，水就以各自不變的速度注入水槽.當(dāng)所有三個(gè)閥門都打開(kāi)時(shí)，注滿水槽需1小時(shí)；只打開(kāi)A、C兩個(gè)閥門，需要1.5小時(shí)；如果只打開(kāi)B、C兩個(gè)閥門，需要2小時(shí)，若只打開(kāi)A、B兩個(gè)閥門時(shí)，注滿水槽所需的小時(shí)數(shù)是（ ）.
�。ˋ）1.1 （B）1.1５ （C）1.2 （D）1.25 (E)1.75
�。�2）兩個(gè)孩子在圓形跑道上從同一點(diǎn)A出發(fā)，按相反方向運(yùn)動(dòng)，他們的速度是每秒5英尺和每秒9英尺，如果他們同時(shí)出發(fā)并當(dāng)他們?cè)贏點(diǎn)第一次再相遇的時(shí)候結(jié)束，那么他們從出發(fā)到結(jié)束之間相遇的次數(shù)是（ ）.
�。ˋ）13 （B）25 （C）44 （D）無(wú)窮多 （E）這些都不是
�。�3）某超級(jí)市場(chǎng)有128箱蘋(píng)果，每箱至少120只，至多144只，裝蘋(píng)果只數(shù)相同的箱子稱為一組，問(wèn)其中最大一組的箱子的個(gè)數(shù)n，最小是（ ）
�。ˋ）4 （B）5 （C）6 （D）24 （E）25
�。�4）兩個(gè)相同的瓶子裝滿酒精溶液，在一個(gè)瓶子中酒精與水的容積之比是p:1，而在另一個(gè)瓶子中是q:1，若把兩瓶溶液混合在一起，混合液中的酒精與水的容積之比是（ ）.
�。�5）汽車A和B行駛同樣的距離，汽車A以每小時(shí)u千米行駛距離的一半并以每小時(shí)υ千米行駛另一半，汽車B以每小時(shí)u千米行駛所行時(shí)間的一半并以每小時(shí)υ千米行駛另一半，汽車A的平均速度是每小時(shí)x千米，汽車B的平均速度是每小時(shí)y千米，那么我們總有（ ）
（A）x≤y (B)x≥y (C)x＝y(tǒng) (D)x＜y (E)x＞y
2.填空題
�。�1）已知鬧鐘每小時(shí)慢4分鐘，且在3點(diǎn)半時(shí)對(duì)準(zhǔn)，現(xiàn)在正確時(shí)間是12點(diǎn)，則過(guò)正確時(shí)間______分鐘，鬧鐘才指到12點(diǎn)上.
（2）若b個(gè)人c天砌f塊磚，則c個(gè)人用相同的速度砌b塊磚需要的天數(shù)是____.
�。�3）某人上下班可乘火車或汽車，若他早晨上班乘火車則下午回家乘汽車；又假若他下午回家乘火車則早晨上班乘汽車，在x天中這個(gè)人乘火車9次，早晨乘汽車8次，下午乘汽車15次，則x=_______.
�。�4）一個(gè)年齡在13至19歲之間的孩子把他自己的年齡寫(xiě)在他父親年齡的后面，從這個(gè)新的四位數(shù)中減去他們年齡差的絕對(duì)值得到4289，他們年齡的和為_(kāi)_____.
�。�5）一個(gè)城鎮(zhèn)的人口增加了1200人，然后這新的人口又減少了11%，現(xiàn)在鎮(zhèn)上的人數(shù)比增加1200人以前還少32人，則原有人口為_(kāi)____人.
3.（1982-1983年福建省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）一個(gè)四位數(shù)是奇數(shù)，它的首位數(shù)字小于其余各位數(shù)字，而第二位數(shù)字大于其余各位數(shù)字，第三位數(shù)字等于首末兩位數(shù)字之和的二倍，求此四位數(shù).
4.（第2屆《祖沖之杯》）甲乙兩人合養(yǎng)了幾頭羊，而每頭羊的賣價(jià)又恰為n元，兩人分錢方法如下：先由甲拿10元，再由乙拿10元，如此輪流，拿到最后，剩下不足十元，輪到乙拿去，為了平均分配，甲應(yīng)該分給乙多少錢？
5.（1986年湖北省荊州地區(qū)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）完成同一工作，A獨(dú)做所需時(shí)間為B與C共同工作所需時(shí)間的m倍，B獨(dú)做所需時(shí)間為A與C共同工作所需時(shí)間的n倍，C獨(dú)做所需時(shí)間為A與B共同工作所需時(shí)間的x倍，用m，n表示出x來(lái).
6.（1988年江蘇省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）今有一個(gè)三位數(shù)，其各位數(shù)字不盡相同，如將此三位數(shù)的各位數(shù)字重新排列，必可得一個(gè)最大數(shù)和一個(gè)最小數(shù)（例如，427，經(jīng)重新排列得最大數(shù)742，最小數(shù)247），如果所得最大數(shù)與最小數(shù)之差就是原來(lái)的那個(gè)三位數(shù)，試求這個(gè)三位數(shù).
7.（1978年四川省數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）某煤礦某一年產(chǎn)煤總量中，除每年以一定數(shù)量的煤作為民用、出口等非工業(yè)用途外，其余留作工業(yè)用煤，按照該年度某一工業(yè)城市的工業(yè)用煤總量為標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算，可供這樣的三個(gè)工業(yè)城市用六年，四個(gè)這樣的城市用五年（當(dāng)然每年都要除去非工業(yè)用煤的那一個(gè)定量），問(wèn)如果只供一個(gè)城市的工業(yè)用煤，可以用多少年？
練習(xí)五
�。保粒茫牛粒�
２．① ② ③１６ ④５９歲 ⑤１０００
�。常O(shè)從首位起，各位數(shù)字順次為ａ，ｂ，ｃ，ｄ，則ａ＜ｂ，ａ＜ｃ，ａ＜ｄ，且ｃ＜ｄ，ｄ＜ｂ．又ｃ＝２（ａ＋ｄ）．且２≤ｃ≤８，故２≤２（ａ＋ｄ）≤８．∵ｄ為奇數(shù)，ａ≠０，∵ａ＝１，ｄ＝３．這時(shí)ｃ＝２（ａ＋ｄ）＝８，ｂ＝９．
４．略．
�。担O(shè)Ａ、Ｂ、Ｃ單獨(dú)完成同一工作所需時(shí)間分別為ａ、ｂ、ｃ，則單位時(shí)間他們可分別完成全部工作的、、，依題意
有：
由上面三式，可得：
�。叮O(shè)三位數(shù)為，重排后最大數(shù)為則最小數(shù)為于是有由于Ｃ＜Ａ，由上式有１０＋Ｃ－Ａ＝ｚ，１０＋（Ｂ－１）－Ｂ＝ｙ，（Ａ－１）－Ｃ＝ｘ．可求得ｙ＝９，ｘ＝４，ｚ＝５．
７．設(shè)該煤礦該年度產(chǎn)煤總量為ｘ，每年非工業(yè)用煤量為ｙ，該工業(yè)城市該年工業(yè)用煤量為ｚ，并設(shè)只供這樣一個(gè)城市工業(yè)用煤可用ｐ年，由題意得方程組：
�、佟、凇、�
由①與②得ｙ＝２ｚ． �、�
從①、③、④三式中消去ｘ、ｙ、ｚ，得
