高中數(shù)學(xué)競賽講座20講
2009-08-29 17:36:51網(wǎng)絡(luò)資源
競賽講座01
－奇數(shù)和偶數(shù)
整數(shù)中，能被2整除的數(shù)是偶數(shù)，反之是奇數(shù)，偶數(shù)可用2k表示 ，奇數(shù)可用2k+1表示，這里k是整數(shù).
關(guān)于奇數(shù)和偶數(shù)，有下面的性質(zhì)：
（1）奇數(shù)不會同時(shí)是偶數(shù)；兩個(gè)連續(xù)整數(shù)中必是一個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)；
（2）奇數(shù)個(gè)奇數(shù)和是奇數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇數(shù)的和是偶數(shù)；任意多個(gè)偶數(shù)的和是偶數(shù)；
（3）兩個(gè)奇（偶）數(shù)的差是偶數(shù)；一個(gè)偶數(shù)與一個(gè)奇數(shù)的差是奇數(shù)；
（4）若a、b為整數(shù)，則a+b與a-b有相同的奇數(shù)偶；
（5）n個(gè)奇數(shù)的乘積是奇數(shù)，n個(gè)偶數(shù)的乘積是2n的倍數(shù)；順式中有一個(gè)是偶數(shù)，則乘積是偶數(shù).
以上性質(zhì)簡單明了，解題時(shí)如果能巧妙應(yīng)用，常常可以出奇制勝.
1.代數(shù)式中的奇偶問題
例1（第2屆"華羅庚金杯"決賽題）下列每個(gè)算式中，最少有一個(gè)奇數(shù)，一個(gè)偶數(shù)，那么這12個(gè)整數(shù)中，至少有幾個(gè)偶數(shù)？
□+□=□， □-□=□，
□×□＝□ □÷□＝□.
解 因?yàn)榧臃ê蜏p法算式中至少各有一個(gè)偶數(shù)，乘法和除法算式中至少各有二個(gè)偶數(shù)，故這12個(gè)整數(shù)中至少有六個(gè)偶數(shù).
例2 （第1屆"祖沖之杯"數(shù)學(xué)邀請賽）已知n是偶數(shù)，m是奇數(shù)，方程組
是整數(shù)，那么
（A）p、q都是偶數(shù). （B）p、q都是奇數(shù).
（C）p是偶數(shù)，q是奇數(shù) （D）p是奇數(shù)，q是偶數(shù)
分析 由于1988y是偶數(shù)，由第一方程知p=x=n+1988y，所以p是偶數(shù)，將其代入第二方程中，于是11x也為偶數(shù)，從而27y=m-11x為奇數(shù)，所以是y=q奇數(shù)，應(yīng)選（C）
