淺議布朗運(yùn)動(dòng)的難點(diǎn)施教

　　淺議布朗運(yùn)動(dòng)的難點(diǎn)施教

　　我市1999年“精品課大獎(jiǎng)賽”選擇了“分子熱運(yùn)動(dòng)”這節(jié)課作為主講內(nèi)容．競賽中，在講授關(guān)于布朗運(yùn)動(dòng)“懸浮顆粒越小，布朗運(yùn)動(dòng)越明顯，懸浮顆粒越大，布朗運(yùn)動(dòng)越不明顯以至觀察不到”這一特點(diǎn)的原因時(shí)，參賽者的處理頗有不同．一種說法認(rèn)為：懸浮顆粒受到液體分子的撞擊作用是不平衡的，顆粒越小，質(zhì)量越小，慣性越小，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)越容易改變，布朗運(yùn)動(dòng)明顯．反之，顆粒越大，布朗運(yùn)動(dòng)越不明顯．另一種說法認(rèn)為：液體分子對懸浮顆粒的碰撞是不平衡的，顆粒越小，周圍與其頻繁碰撞的液體分子數(shù)目就越少，不平衡性越明顯，布朗運(yùn)動(dòng)越顯著．反之，顆粒越大，周圍與其不斷碰撞的液體分子較多，撞擊作用的不平衡性就不明顯，趨于平衡，布朗運(yùn)動(dòng)就越不明顯．前一種說法強(qiáng)調(diào)通過顆粒質(zhì)量的大小對運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響大小來解釋布朗運(yùn)動(dòng)的上述特點(diǎn)；后一種說法試圖通過顆粒周圍與其碰撞的液體分子數(shù)目對其撞擊不平衡性的影響說明問題．哪一種說法更為科學(xué)準(zhǔn)確呢？

　　?布朗運(yùn)動(dòng)是一種漲落現(xiàn)象（漲落是指對所研究的某一宏觀物理量進(jìn)行測量時(shí)，每一次測得的實(shí)際值與平均值的偏差）．布朗顆粒受周圍液體分子頻繁、雜亂無章的碰撞每秒達(dá)1021次，我們只能觀察其宏觀短時(shí)間內(nèi)的平均運(yùn)動(dòng)．若顆粒直徑較大，由于液體分子向各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的幾率相等，所以周圍液體分子在任何瞬間對顆粒的撞擊作用幾乎是平衡的．但當(dāng)顆粒直徑為10－4ｃｍ時(shí)，任一瞬時(shí)顆粒所受少量分子碰撞的合力不再等于零，而是漲落不定．合力的大小和方向不斷變化，于是顆粒就不停地做無規(guī)則（布朗）運(yùn)動(dòng)，布朗運(yùn)動(dòng)就很明顯．

　　?我們也可用朗之萬法證明布朗顆粒位移的散差（表示漲落值）．設(shè)布朗顆粒質(zhì)量為ｍ，受到的力可理解為，一是流體所施的粘滯阻力－ａｖ（ａ為阻力系數(shù)，ｖ為顆粒運(yùn)動(dòng)速度）；二是流體分子碰撞的凈余力．前者是布朗顆粒運(yùn)動(dòng)時(shí)受到來自前方液體分子的碰撞而受的阻礙作用；后者相當(dāng)于布朗顆粒靜止時(shí)受到的分子碰撞的凈余力，它是漲落不定的，但Ｆ（ｔ）＝0．

　　?我們在水平面的ｘ方向討論布朗運(yùn)動(dòng)．重力和浮力可不考慮，則顆粒運(yùn)動(dòng)的方程為：

　　?ｍｄ2ｘ／ｄｔ2＝－ａｄｘ／ｄｔ＋Ｆｘ（ｔ），（朗之萬方程）①

　　?＋ｘＦ?ｘ（ｔ）．②

　　因

　�、谑娇蓪懗桑海ǎ恚�2）（ｄ／ｄｔ）（ｄｘ2／ｄｔ）－ｍ＝

　�。ǎ幔�2）（ｄｘ2／ｄｔ）＋ｘＦｘ（ｔ）．③

　　取平均：④

　　?因ｘＦｘ（ｔ）＝0，布朗顆粒與周圍液體處于熱平衡，從能量均分定理知：

　　?⑤

　�、�

　�、�

　　將⑦式代入⑥式得：Ｃ2＝2ｋＴ／ａ．

　　令ｔ＝0，ｄ／ｄｔ＝0，Ｃ1＝－2ｋＴ／ａ．

　　將Ｃ1、Ｃ2代入⑦，

　�。剑�2ｍｋＴｅ－ａｔ／ｍ）／ａ2＋2ｋＴｔ／ａ＋Ｃ3．

　　令ａ／ｍ＝τ，因ｔ＝0，＝0，Ｃ3＝－2ｋＴτ2／ｍ，

　　所以＝2ｋＴτ2／ｍ［ｔ／τ－（1－ｅ－ｔ／τ）］．

　　?當(dāng)ｔ>>τ時(shí)，相當(dāng)于實(shí)際觀察到的布朗運(yùn)動(dòng)：＝2ｋＴτｔ／ｍ＝2ｋＴｔ／ａ．此式說明布朗顆粒位移平方的平均值和絕對溫度Ｔ、時(shí)間ｔ成正比，與阻力系數(shù)ａ成反比．阻力系數(shù)越小，在同樣情況下，位移平方的平均值變化越大，布朗運(yùn)動(dòng)越明顯．根據(jù)ａ的意義，它與運(yùn)動(dòng)的布朗顆粒所受的撞擊分子數(shù)有正向關(guān)系，布朗顆粒運(yùn)動(dòng)中受到的分子碰撞越少，ａ越小，布朗運(yùn)動(dòng)越明顯，反之則不明顯．

　　?綜上所述，在發(fā)生布朗運(yùn)動(dòng)時(shí)，引起布朗運(yùn)動(dòng)明顯與否的主要因素是其周圍與其頻繁撞擊的液體分子數(shù)目的多少，而不應(yīng)過分強(qiáng)調(diào)顆粒的質(zhì)量．我們在教學(xué)過程中，千萬不能因?yàn)榈谝环N說法學(xué)生易于接受就只作簡單的說明，而應(yīng)尊重科學(xué)，正確引導(dǎo)學(xué)生從統(tǒng)計(jì)觀點(diǎn)入手，對布朗運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)作出科學(xué)性的正確解釋．