2009年自主招生考試數學試題解析

　　自從2006年復旦大學、上海交通大學等全國重點院校招生改革“破冰”以來，各校“深化自主選拔錄取改革試驗”招生方案不斷出臺。全國自主招生院校數目及招生規模也在增加，引起了教育界和廣大考生、家長和中學教師對命題的高度關注。以下就近兩年數學考試特點進行剖析。

　　試卷特點分析

　　1.基礎知識和基本技能仍是考查重點

　　基礎知識、基本技能稱之為“雙基”。大家知道，能力與“雙基”有著辯證關系。沒有扎實的“雙基”，能力培養就成了無源之水，無本之木。所以，“雙基”訓練是數學教學的重要任務之一。

　　綜觀復旦、交大、清華等高校近幾年自主招生的數學題目，我們會發現有60%至70%的題目仍是比較基礎的。例如近三年來上海交大卷的填空題都是10題（50分），占試卷的一半，這些填空題比較常規，和高考試題難度相當。復旦卷有30題左右的選擇題，也多半是學生平時訓練過的一些比較熟悉的題型和知識點。

　　2.考查知識點的覆蓋面廣，但側重點有所不同

　　復旦、交大等高校近幾年自主招生的試題，知識點的覆蓋面還是很廣的，基本上涉及到高中數學大綱的所有內容。例如，函數、集合、數列、復數、三角、排列、組合、概率統計、向量、立體幾何、解析幾何等。

　　但高校自主招生試題命題是由大學完成的，更多會考慮到高等數學與初等數學的銜接，所以提請大家注意幾個方面：

　　函數和方程問題、排列組合和概率統計等  粗略統計，2008年復旦卷中與函數和方程有關的試題多達10題，占31%。

　　復數  復數通常在高考中要求比較低，占的比分也較少，但在復旦卷中仍占有一席之地（2008年及2007年分別有2題和3題）。

　　矩陣和行列式  這些知識雖然目前還未納入高考范圍，但由于是高等數學中非常重要的內容，近幾年在復旦卷中每年都會出現。

　　以上各點，望能引起廣大師生的注意。

　　當然由于上述同樣的原因，盡管高考中解析幾何是一個比較重要的內容，但在復旦卷中所占比例卻較少，例如，2008年和2007年只有2題和1題。

　　3.注重數學知識和其他科目的整合，考查學生應用知識解決問題的能力

　　2008年交大冬令營數學試卷中有這樣一個問題：

　　通信工程中常用n元數組（a1，a2，a3，……an）表示信息，其中ai=0或1，i、n∈N。設u=（a1，a2，a3，……an），v=（b1，b2，b3，……bn），d（u，v）表示u和v中相對應的元素不同的個數。

　　（1）u=（0,0，0,0，0）問存在多少個5元數組v使得d（u，v）=1

　　（2）u=（1,1，1,1，1）問存在多少個5元數組v使得d（u，v）=3

　　（3）令w=（01，04,02……0），u=（a1，a2，a3……an），v=（b1>，b2，b3……bn）

　　求證：d（u，w）＋d（v，w）≥d（u,v）

　　此問題與計算機中的“二進制”有關。前兩問是排列組合計數問題，尤其是第三問有一定的挑戰性。可把d（u,v）轉化為一個絕對值問題
　　4.突出對思維能力和解題技巧的考查

　　近幾年的自主招生試卷中對數學思想方法和思維策略的考查達到了相當高的層次，有時甚至達到相當于數學競賽的難度。

　　例如，2007年交大冬令營卷中有這樣一個問題：

　　設f(x)=(1+a)x4+x3-(3a+2)x2-4a，試證明對任意實數a：

　　（1）方程f(x)=0總有相同實根

　　（2）存在x0，恒有f(x0)≠0

　　這兩問解決的策略和方法是：換一個角度看成一個關于a的一次函數。

　　應試和準備策略

　　針對上述自主招生試題特點，學生復習時應注意以下幾點。

　　1.注意知識點的全面

　　數學題目被猜中的可能性很小，一般知識點都靠平時積累，剩下的就是個人的現場發揮。數學還是要靠平時扎扎實實的學習才能考出好成績，因此，學生平時必須把基礎知識打扎實。

　　另外，對上面提及的一些平時不太注意的小章節或高考不一定考的問題，如矩陣、行列式等也不可忽視。

　　2.適當做些近幾年的自主招生的真題

　　俗話說：知己知彼，百戰百勝。同學們可適當訓練近幾年自己所考的高校所出的自主招生試題，熟悉一下題型和套路。

　　3.注重知識的延伸和加深

　　復旦、交大、清華等全國重點院校自主招生試題比高考試題稍難，比數學競賽試題又稍簡單，有些問題稍有深度，這就要求考生平時注意知識點的延伸和加深。例如2008年復旦卷的第77題：

　　四十個學生參加數學奧林匹克競賽。他們必須解決一個代數學問題、一個幾何學問題以及一個三角學問題。具體情況如下表所述。

　　其中有三位學生一個問題都沒有解決。問：三個問題都解決的學生數是(  )。

　　A.5  B.6  C.7  D.8

　　此題若是用畫圖、文氏圖等方法雖能解決，但花費時間較多。若是知題三個集合的容斥原理,|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-(|A∩B|+|A∩C|+|B∩C|)+|A∩B∩C|，只要代入公式，馬上就可解決。

　　又如第88題：

　　設x1,x2,x3是方程x3+x+2=0

　　此題若是知題三次方程的韋達定理，則也容易解決。而三次方程和韋達定理雖然可推導出來，但平時同學們對二次方程的韋達定理很熟悉，對三次方程則比較陌生。

　　又比如，柯西不等式可解決許多不等式問題，但由于目前上海高考不考，所以很多高中生對此不熟悉。

　　總之，同學們若是多注意一些知識點的延伸和加深，考試時必定會有一種居高臨下的感覺。