高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽大綱
2007-10-25 09:26:53學(xué)而思教育文章作者：高考網(wǎng)教研組
在“普及的基礎(chǔ)上不斷提高”的方針指引下，全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽活動(dòng)方興未艾，特別是連續(xù)幾年我國(guó)選手在國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克中取得了可喜的成績(jī)，使廣大中小學(xué)師生和數(shù)學(xué)工作者為之振奮，熱忱不斷高漲，數(shù)學(xué)競(jìng)賽活動(dòng)進(jìn)入了一個(gè)新的階段。為了使全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽活動(dòng)持久、健康、逐步深入地開(kāi)展，應(yīng)廣大中學(xué)師生和各級(jí)數(shù)學(xué)奧林匹克教練員的要求，特制定《數(shù)學(xué)競(jìng)賽大綱》以適應(yīng)當(dāng)前形勢(shì)的需要。
本大綱是在國(guó)家教委制定的全日制中學(xué)“數(shù)學(xué)教學(xué)大綱”的精神和基礎(chǔ)上制定的。《教學(xué)大綱》在教學(xué)日的一欄中指出：“要培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，激勵(lì)學(xué)生為實(shí)現(xiàn)四個(gè)現(xiàn)代化學(xué)好數(shù)學(xué)的積極性”。具體作法是：“對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生，要通過(guò)課外活動(dòng)或開(kāi)設(shè)選修課等多種方式，充分發(fā)展他們的數(shù)學(xué)才能”，“要重視能力的培養(yǎng)......，著重培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力、邏輯思維能力和空間想象能力，要使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)分析、綜合、歸納、演繹、概括、抽象、類比等重要的思想方法。同時(shí)，要重視培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立思考和自學(xué)的能力”。
《教學(xué)大綱》中所列出的內(nèi)容，是教學(xué)的要求，也是競(jìng)賽的最低要求。在競(jìng)賽中對(duì)同樣的知識(shí)內(nèi)容的理解程度與靈活運(yùn)用能力，特別是方法與技巧掌握的熟練程度，有更高的要求。而“課堂教學(xué)為主，課外活動(dòng)為輔”是必須遵循的原則。因此，本大綱所列的課外講授內(nèi)容必須充分考慮學(xué)生的實(shí)際情況，分階段、分層次讓學(xué)生逐步地去掌握，并且要貫徹“少而精”的原則，這樣才能加強(qiáng)基礎(chǔ)，不斷提高。
一試
全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的一試競(jìng)賽大綱，完全按照全日制中學(xué)《數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》中所規(guī)定的教學(xué)要求和內(nèi)容，即高考所規(guī)定的知識(shí)范圍和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微積分初步不考。
二試
1、平面幾何
基本要求：掌握初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽大綱所確定的所有內(nèi)容。
補(bǔ)充要求：面積和面積方法。
幾個(gè)重要定理：梅涅勞斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
幾個(gè)重要的極值：到三角形三頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)--費(fèi)馬點(diǎn)。到三角形三頂點(diǎn)距離的平方和最小的點(diǎn)--重心。三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點(diǎn)--重心。
幾何不等式。
簡(jiǎn)單的等周問(wèn)題。了解下述定理：
在周長(zhǎng)一定的ｎ邊形的集合中，正ｎ邊形的面積最大。
在周長(zhǎng)一定的簡(jiǎn)單閉曲線的集合中，圓的面積最大。
在面積一定的ｎ邊形的集合中，正ｎ邊形的周長(zhǎng)最小。
在面積一定的簡(jiǎn)單閉曲線的集合中，圓的周長(zhǎng)最小。
幾何中的運(yùn)動(dòng)：反射、平移、旋轉(zhuǎn)。
復(fù)數(shù)方法、向量方法。
平面凸集、凸包及應(yīng)用。
2、代數(shù)
在一試大綱的基礎(chǔ)上另外要求的內(nèi)容：
周期函數(shù)與周期，帶絕對(duì)值的函數(shù)的圖像。
三倍角公式，三角形的一些簡(jiǎn)單的恒等式，三角不等式。
第二數(shù)學(xué)歸納法。
遞歸，一階、二階遞歸，特征方程法。
函數(shù)迭代，求ｎ次迭代，簡(jiǎn)單的函數(shù)方程。
n個(gè)變?cè)钠骄坏仁剑挛鞑坏仁剑判虿坏仁郊皯?yīng)用。
復(fù)數(shù)的指數(shù)形式，歐拉公式，棣美弗定理，單位根，單位根的應(yīng)用。
圓排列，有重復(fù)的排列與組合，簡(jiǎn)單的組合恒等式。
一元n次方程（多項(xiàng)式）根的個(gè)數(shù)，根與系數(shù)的關(guān)系，實(shí)系數(shù)方程虛根成對(duì)定理。
簡(jiǎn)單的初等數(shù)論問(wèn)題，除初中大綱中所包括的內(nèi)容外，還應(yīng)包括無(wú)窮遞降法，同余，歐幾里得除法，非負(fù)最小完全剩余類，高斯函數(shù)，費(fèi)馬小定理，歐拉函數(shù)，孫子定理，格點(diǎn)及其性質(zhì)。
3、立體幾何
多面角，多面角的性質(zhì)。三面角、直三面角的基本性質(zhì)。
正多面體，歐拉定理。
體積證法。
截面，會(huì)作截面、表面展開(kāi)圖。
4、平面解析幾何
直線的法線式，直線的極坐標(biāo)方程，直線束及其應(yīng)用。
二元一次不等式表示的區(qū)域。
三角形的面積公式。
圓錐曲線的切線和法線。
圓的冪和根軸。
5、其它
抽屜原理。
容斥原理。
極端原理。
集合的劃分。
覆蓋。
