高中數學競賽大綱

　　在“普及的基礎上不斷提高”的方針指引下，全國數學競賽活動方興未艾，特別是連續幾年我國選手在國際數學奧林匹克中取得了可喜的成績，使廣大中小學師生和數學工作者為之振奮，熱忱不斷高漲，數學競賽活動進入了一個新的階段。為了使全國數學競賽活動持久、健康、逐步深入地開展，應廣大中學師生和各級數學奧林匹克教練員的要求，特制定《數學競賽大綱》以適應當前形勢的需要。

　　本大綱是在國家教委制定的全日制中學“數學教學大綱”的精神和基礎上制定的。《教學大綱》在教學日的一欄中指出：“要培養學生對數學的興趣，激勵學生為實現四個現代化學好數學的積極性”。具體作法是：“對學有余力的學生，要通過課外活動或開設選修課等多種方式，充分發展他們的數學才能”，“要重視能力的培養......，著重培養學生的運算能力、邏輯思維能力和空間想象能力，要使學生逐步學會分析、綜合、歸納、演繹、概括、抽象、類比等重要的思想方法。同時，要重視培養學生的獨立思考和自學的能力”。

　　《教學大綱》中所列出的內容，是教學的要求，也是競賽的最低要求。在競賽中對同樣的知識內容的理解程度與靈活運用能力，特別是方法與技巧掌握的熟練程度，有更高的要求。而“課堂教學為主，課外活動為輔”是必須遵循的原則。因此，本大綱所列的課外講授內容必須充分考慮學生的實際情況，分階段、分層次讓學生逐步地去掌握，并且要貫徹“少而精”的原則，這樣才能加強基礎，不斷提高。

　　一試

　　全國高中數學聯賽的一試競賽大綱，完全按照全日制中學《數學教學大綱》中所規定的教學要求和內容，即高考所規定的知識范圍和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微積分初步不考。

　　二試

　　1、平面幾何

　　基本要求：掌握初中數學競賽大綱所確定的所有內容。

　　補充要求：面積和面積方法。

　　幾個重要定理：梅涅勞斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

　　幾個重要的極值：到三角形三頂點距離之和最小的點--費馬點。到三角形三頂點距離的平方和最小的點--重心。三角形內到三邊距離之積最大的點--重心。

　　幾何不等式。

　　簡單的等周問題。了解下述定理：

　　在周長一定的ｎ邊形的集合中，正ｎ邊形的面積最大。

　　在周長一定的簡單閉曲線的集合中，圓的面積最大。

　　在面積一定的ｎ邊形的集合中，正ｎ邊形的周長最小。

　　在面積一定的簡單閉曲線的集合中，圓的周長最小。

　　幾何中的運動：反射、平移、旋轉。

　　復數方法、向量方法。

　　平面凸集、凸包及應用。

　　2、代數

　　在一試大綱的基礎上另外要求的內容：

　　周期函數與周期，帶絕對值的函數的圖像。

　　三倍角公式，三角形的一些簡單的恒等式，三角不等式。

　　第二數學歸納法。

　　遞歸，一階、二階遞歸，特征方程法。

　　函數迭代，求ｎ次迭代，簡單的函數方程。

　　n個變元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及應用。

　　復數的指數形式，歐拉公式，棣美弗定理，單位根，單位根的應用。

　　圓排列，有重復的排列與組合，簡單的組合恒等式。

　　一元n次方程（多項式）根的個數，根與系數的關系，實系數方程虛根成對定理。

　　簡單的初等數論問題，除初中大綱中所包括的內容外，還應包括無窮遞降法，同余，歐幾里得除法，非負最小完全剩余類，高斯函數，費馬小定理，歐拉函數，孫子定理，格點及其性質。

　　3、立體幾何

　　多面角，多面角的性質。三面角、直三面角的基本性質。

　　正多面體，歐拉定理。

　　體積證法。

　　截面，會作截面、表面展開圖。

　　4、平面解析幾何

　　直線的法線式，直線的極坐標方程，直線束及其應用。

　　二元一次不等式表示的區域。

　　三角形的面積公式。

　　圓錐曲線的切線和法線。

　　圓的冪和根軸。

　　5、其它

　　抽屜原理。

　　容斥原理。

　　極端原理。

　　集合的劃分。

　　覆蓋。