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        [趣味數(shù)學(xué)]趣談“九連環(huán)與格雷碼”

        2006-12-28 15:17:34中國(guó)高中生網(wǎng)

        九連環(huán)的解法  九連環(huán)的歷史

          分析解九連環(huán)的完全記法,由于每次只動(dòng)一個(gè)環(huán),故兩步的表示也只有一個(gè)數(shù)字不同。下面以五個(gè)環(huán)為例分析。左邊起第一列的五位數(shù)是5個(gè)環(huán)的狀態(tài),依次由第一環(huán)到第五環(huán)。第二列是把這個(gè)表示反轉(zhuǎn)次序的五位數(shù),似乎是二進(jìn)制數(shù),但是與第四列比較就可以看出這不是步數(shù)的二進(jìn)制數(shù)表示。第三列是從初始狀態(tài)到這個(gè)狀態(tài)所用的步數(shù)。最右邊一列才是步數(shù)的二進(jìn)制表示。

          00000-00000-0-00000

          10000-00001-1-00001

          11000-00011-2-00010

          01000-00010-3-00011

          01100-00110-4-00100

          11100-00111-5-00101

          10100-00101-6-00110

          00100-00100-7-00111

          00110-01100-8-01000

          10110-01101-9-01001

          11110-01111-10-01010

          01110-01110-11-01011

          01010-01010-12-01100

          11010-01011-13-01101

          10010-01001-14-01110

          00010-01000-15-01111

          00011-11000-16-10000

          10011-11001-17-10001

          11011-11011-18-10010

          01011-11010-19-10011

          01111-11110-20-10100

          11111-11111-21-10101

          我們發(fā)現(xiàn),右邊一列數(shù)恰好是十進(jìn)制數(shù)0到21的二進(jìn)制數(shù)的格雷碼! 這當(dāng)然需要21步。如果把5位二進(jìn)制數(shù)依次寫(xiě)完,就是

          10111-11101-22-10110

          00111-11100-23-10111

          00101-10100-24-11000

          10101-10101-25-11001

          11101-10111-26-11010

          01101-10110-27-11011

          01001-10010-28-11100

          11001-10011-29-11101

          10001-10001-30-11110

          00001-10000-31-11111

          這說(shuō)明,對(duì)于只有5個(gè)環(huán)的五連環(huán),從初始到狀態(tài)11111用的不是并不是最多,到狀態(tài)00001才是最多,用31步。類(lèi)似,對(duì)于九連環(huán),從初始到狀態(tài)111111111用的不是并不是最多,到狀態(tài)000000001才是最多,用511步。由于格雷碼111111111表示二進(jìn)制數(shù)101010101,表示十進(jìn)制數(shù)341,故從初始狀態(tài)到9個(gè)環(huán)全部上去用341步。這就是九連環(huán)中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)內(nèi)涵。

          注 由二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為格雷碼:從右到左檢查,如果某一數(shù)字左邊是0,該數(shù)字不變;如果是1,該數(shù)字改變(0變?yōu)?,1變?yōu)?)。例,二進(jìn)制數(shù)11011的格雷碼是10110.

          由格雷碼表示變?yōu)槎M(jìn)制數(shù):從右到左檢查,如果某一數(shù)字的左邊數(shù)字和是偶數(shù),該數(shù)字不變;如果是奇數(shù),該數(shù)字改變。

          例 格雷碼11011表示為二進(jìn)制數(shù)是10010.

          以上可以用口訣幫助記憶:2G一改零不改,G2奇變偶不變。

          例 設(shè)九連環(huán)的初始狀態(tài)是110100110,要求終止?fàn)顟B(tài)是001001111,簡(jiǎn)單解法與完整解法各需要多少步?過(guò)程如何?

          解 初始狀態(tài)110100110,格雷碼是011001011,轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)是010001101,相應(yīng)十進(jìn)制數(shù)是141.終止?fàn)顟B(tài)是001001111,格雷碼是111100100,轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)是101000111,相應(yīng)十進(jìn)制數(shù)是327.二者差326-141=186,完整解法需要186步。

          簡(jiǎn)單解法步數(shù),我們由141,327分別求相應(yīng)的簡(jiǎn)單步數(shù),

          對(duì)于N=141,得到N0=103;對(duì)于N=327,N0=242.二者差139,故簡(jiǎn)單步數(shù)139.這個(gè)結(jié)果很容易在下一頁(yè)九連環(huán)電腦游戲上驗(yàn)證。

        [標(biāo)簽:數(shù)學(xué)]

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