如何高效突破高二數學難點

2024-09-11 11:23:25網絡整理

　　一、定位整體

　　新課程標準對“常用邏輯用語”的定位為：“正確使用邏輯用語是現代社會公民應該具備的基本素質，無論是進行思考、交流，還是從事各項工作，都需要正確的運用邏輯用語表達自己的思想。在本模塊中，同學們將在義務教育的基礎上，學習常用邏輯用語，體會邏輯用語在表述和論證中的作用，利用這些邏輯用語準確地表達數學內容，更好地進行交流。” 因此，學習邏輯用語，不僅要了解數理邏輯的有關知識，還要體會邏輯用語在表述或論證中的作用，使以后的論證和表述更加準確、清晰和簡潔。

　　二、明確重點

　　“常用邏輯用語”分成三大節，分別為：命題及其關系，簡單的邏輯聯結詞，全稱量詞與存在量詞。

　　“命題及其關系”分兩小節：一、“四種命題”，此節重點在于四種命題形式及其關系，互為逆否命題的等價性;二、“充分條件和必要條件”，此節重點在于充分條件、必要條件、充要條件的準確理解以及正確判斷。

　　“簡單的邏輯聯結詞”重點在于“且”、 "或”、 "非”這三個邏輯聯結詞的理解和應用。

　　“全稱量詞與存在量詞”重點在于理解全稱量詞與存在量詞的意義，以及正確做出含有一個量詞的命題的否定。

　　三、突破難點

　　1. "四種命題”的難點在于分清命題的條件和結論以及判斷命題的真假

　　例1 分別寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假。

　　(1) 全等三角形的面積相等;

　　(2) m>時，方程mx2-x+1=0無實根;

　　解析 (1) 條件為兩個三角形全等，結論為它們的面積相等。因此，原命題即為“若兩個三角形全等，則它們的面積相等”，逆命題為“若兩個三角形面積相等，則它們全等”，否命題為“若兩個三角形不全等，則它們的面積不相等”，逆否命題為“若兩個三角形面積不相等，則它們不全等”。根據平面幾何知識，易得原命題和逆否命題為真命題，逆命題和否命題為假命題。

　　(2) 原命題即為“若m>，則方程mx2-x+1=0無實根”，逆命題為“若方程mx2-x+1=0無實根，則m>”，否命題為“若m≤，則方程mx2-x+1=0有實根”，逆否命題為“若方程mx2-x+1=0有實根，則m≤”。根據判別式Δ=1-4m的正負可知，原命題、逆命題、否命題、逆否命題均為真命題。

　　突破對于判斷命題的真假，我們需要先弄清何為條件、何為結論，然后根據相應的知識進行判斷，當原命題不容易直接判斷時，可以先判斷其逆否命題的真假性，從而得到原命題的真假性。

　　2. "充分條件和必要條件”的難點在于充要性的判斷

　　例2 在下列命題中，判斷p是q的什么條件。(在“充分不必要條件”、“必要不充分條件”、“充要條件”、“既不充分又不必要條件”中選出一種)

　　(1) p:|p|≥2，p∈R;q:方程x2+px+p+3=0有實根。

　　(2) p:圓x2+y2=r2與直線ax+by+c=0相切;q:c2=(a2+b2)r2，其中a2+b2≠0，r≠0.

　　(3) 設集合M={x|x>2}，N={x|x<3}，p:x∈M∩N;q:x∈M∪N.

　　解析 (1) 當|p|≥2時，例如p=3，此時方程x2+px+p+3=0無實根，因此“若p則q”為假命題;當方程x2+px+p+3=0有實根時，根據判別式有p≤-2或p≥6，此時|p|≥2成立，因此“若q則p”為真命題。故p是q的必要不充分條件。

　　(2) 若圓x2+y2=r2與直線ax+by+c=0相切，則圓心(0，0)到直線ax+by+c=0的距離等于r，即r=，化簡可得c2=(a2+b2)r2，因此“若p則q”為真命題;反過來，由c2=(a2+b2)r2，可得r=，即圓心(0，0)到直線ax+by+c=0的距離等于r，由解析幾何知識得圓與直線相切，因此“若q則p”為真命題。故p是q的充要條件。

　　(3) M∩N=(2，3)，M∪N=R，若x∈(2，3)，此時顯然有x∈R，因此“若p則q”為真命題;反過來，若x∈R，例如x=5，此時x?埸(2，3)，因此“若q則p”為假命題。故p是q的充分不必要條件。

　　突破 ①從邏輯的觀點理解：判斷充分性、必要性的前提是判斷給定命題的真假性，若“若p則q”為真命題，則p是q的充分條件;若“若q則p”為真命題，則p是q的必要條件;若兩者都是真命題，則p是q的充要條件;若兩者都是假命題，則p是q的既不充分也不必要條件。②從集合的觀點理解：建立命題p，q相應的集合。 p:A={x|p(x)成立}，q:B={x|q(x)成立}。那么：若A?哿B，則p是q的充分條件;若B?哿A，則p是q的必要條件;若A=B，則p是q的充要條件。若A?芫B且B?芫A，則p是q的既不充分也不必要條件。

　　以上是部分突破高二數學命題難點的方法，掌握了方法做起題來就會容易很多了，希望同學們課下多加鉆研，多加思考。