高一數學判斷充分與必要條件的方法

2024-09-03 23:07:36網絡整理

　　判斷充分與必要條件的方法

　　一、定義法

　　可以簡單的記為箭頭所指為必要，箭尾所指為充分.在解答此類題目時，利用定義直接推導，一定要抓住命題的條件和結論的四種關系的定義.

　　例1 已知p：-2

　　分析條件p確定了m，n的范圍，結論q則明確了方程的根的特點，且m，n作為系數，因此理應聯想到根與系數的關系，然后再進一步化簡.

　　解設x1，x2是方程x2+mx+n=0的兩個小于1的正根，即0

　　而對于滿足條件p的m=-1，n=，方程x2-x+=0并無實根，所以pq.

　　綜上，可知p是q的必要但不充分條件.

　　點評解決條件判斷問題時，務必分清誰是條件，誰是結論，然后既要嘗試由條件能否推出結論，也要嘗試由結論能否推出條件，這樣才能明確做出充分性與必要性的判斷.

　　二、集合法

　　如果將命題p，q分別看作兩個集合A與B，用集合意識解釋條件，則有：①若A?哿B，則x∈A是x∈B的充分條件，x∈B是x∈A的必要條件;②若A?芴B，則x∈A是x∈B的充分不必要條件，x∈B是x∈A的必要不充分條件;③若A=B，則x∈A和x∈B互為充要條件;④若A?芫B且A?蕓B，則x∈A和x∈B互為既不充分也不必要條件.

　　例2 設x，y∈R，則x2+y2<2是|x|+|y|≤的條件，是|x|+|y|<2的條件.

　　A. 充要條件 B. 既非充分也非必要條件

　　C. 必要不充分條件?搖D. 充分不必要條件

　　解如右圖所示，平面區域P={(x，y)|x2+y2<2}表示圓內部分(不含邊界);平面區域Q={(x，y)||x|+|y|≤}表示小正方形內部分(含邊界);平面區域M={(x，y)||x|+|y|<2}表示大正方形內部分(不含邊界).

　　由于(，0)?埸P，但(，0)∈Q，則P?蕓Q.又P?芫Q，于是x2+y2<2是|x|+|y|≤的既非充分也非必要條件，故選B.

　　同理P?芴M，于是x2+y2<2是|x|+|y|<2的充分不必要條件，故選D.

　　點評由數想形，以形輔數，這種解法正是數形結合思想在解題中的有力體現.數形結合不僅能夠拓寬我們的解題思路，而且也能夠提高我們的解題能力.

　　三、逆否法

　　利用互為逆否命題的等價關系，應用“正難則反”的數學思想，將判斷“p?圯q”轉化為判斷“非q?圯非p”的真假.

　　例3 (1)判斷p：x≠3且y≠2是q：x+y≠5的什么條件;

　　(2) 判斷p：x≠3或y≠2是q：x+y≠5的什么條件.

　　解 (1)原命題等價于判斷非q：x+y=5是非p：x=3或y=2的什么條件.

　　顯然非p非q，非q非p，故p是q的既不充分也不必要條件.

　　(2) 原命題等價于判斷非q：x+y=5是非p：x=3且y=2的什么條件.

　　因為非p?圯非q，但非q非p，故p是q的必要不充分條件.

　　點評當命題含有否定詞時，可考慮通過逆否命題等價轉化判斷.

　　四、篩選法

　　用特殊值、舉反例進行驗證，做出判斷，從而簡化解題過程.這種方法尤其適合于解選擇題.

　　例4 方程ax2+2x+1=0至少有一個負實根的充要條件是

　　A. 0

　　解利用特殊值驗證：當a=0時，x=-，排除A，D;當a=1時，x=-1，排除B.因此選C.

　　點評作為選擇題，利用篩選法避免了復雜的邏輯推理過程，使解題方法更加優化，節省了時間，提高了解題的速度，因此同學們應該注意解題方法的選擇使用.

　　五、傳遞法

　　充分條件與必要條件具有傳遞性，即由P1?圯P2，P2?圯P3，…，Pn-1?圯Pn，可得P1?圯Pn .同樣，充要條件也有傳遞性.對于比較復雜的具有一定連鎖關系的條件，兩個條件間關系的判斷也可用傳遞法來加以處理.

　　例5 已知p是r的充分不必要條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件，那么p是q的

　　A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件

　　C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件

　　解由題意可得p?圯r，r?圯s，s?圯q，那么可得p?圯r?圯s?圯q，即p是q的充分不必要條件，故選A.

　　點評對于兩個以上的較復雜的連鎖式條件，利用傳遞性結合符號“?圯”與“”，畫出它們之間的關系結構圖進行判斷，可以直觀快捷地處理問題，使問題得以簡單化.

　　1. 求三個方程x2+4ax-4a+3=0，x2+(a-1)x+a2=0，x2+2ax-2a=0至少有一個方程有實根的充要條件.

　　1. 三個方程均無實根的充要條件是

　　Δ1=16a2-4(-4a+3)<0，Δ2=(a-1)2-4a2<0，Δ3=4a2-4(-2a)<0。