高一數學教案：《函數模型的應用舉例》教學設計

項目

內容

課題

函數模型的應用舉例

（共   2   課時）

修改與創新

教學

目標

1.培養學生由實際問題轉化為數學問題的建模能力，即根據實際問題進行信息綜合列出函數解析式.

2.會利用函數圖象性質對函數解析式進行處理得出數學結論，并根據數學結論解決實際問題.

3.通過學習函數基本模型的應用，體會實踐與理論的關系，初步向學生滲透理論與實踐的辯證關系.

教學重、

難點

根據實際問題分析建立數學模型和根據實際問題擬合判斷數學模型，并根據數學模型解決實際問題.

教學

準備

教學過程

第1課時  

函數模型的應用實例

導入新課

上一節我們學習了不同的函數模型的增長差異，這一節我們進一步討論不同函數模型的應用.

提出問題

①我市有甲、乙兩家乒乓球俱樂部，兩家設備和服務都很好，但收費方式不同.甲家每張球臺每小時5元；乙家按月計費，一個月中30小時以內(含30小時)每張球臺90元，超過30小時的部分每張球臺每小時2元.小張準備下個月從這兩家中的一家租一張球臺開展活動，其活動時間不少于15小時，也不超過40小時.

設在甲家租一張球臺開展活動x小時的收費為f(x)元(15≤x≤40)，在乙家租一張球臺開展活動x小時的收費為g(x)元(15≤x≤40)，試求f(x)和g(x).

②A、B兩城相距100 km，在兩地之間距A城x km處D地建一核電站給A、B兩城供電，為保證城市安全.核電站距城市距離不得少于10 km.已知供電費用與供電距離的平方和供電量之積成正比，比例系數λ=0.25.若A城供電量為20億度/月，B城為10億度/月.

把月供電總費用y表示成x的函數，并求定義域.

③分析以上實例屬于那種函數模型.

討論結果：①f(x)=5x(15≤x≤40).

g(x)=

②y=5x2+(100—x)2(10≤x≤90)；

③分別屬于一次函數模型、二次函數模型、分段函數模型.

例1一輛汽車在某段路程中的行駛速率與時間的關系如圖所示.

(1)求圖3-2-2-1中陰影部分的面積，并說明所求面積的實際含義；

(2)假設這輛汽車的里程表在汽車行駛這段路程前的讀數為2004km,試建立行駛這段路程時汽車里程表讀數s km與時間t h的函數解析式，并作出相應的圖象.

圖3-2-2-1

活動：學生先思考或討論，再回答.教師根據實際，可以提示引導：

圖中橫軸表示時間，縱軸表示速度，面積為路程；由于每個時間段速度不斷變化，汽車里程表讀數s km與時間t h的函數為分段函數.

解：(1)陰影部分的面積為50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360.

陰影部分的面積表示汽車在這5小時內行駛的路程為360 km.

(2)根據圖，有

這個函數的圖象如圖3-2-2-2所示.

圖3-2-2-2

變式訓練

2007深圳高三模擬，理19電信局為了滿足客戶不同需要，設有A、B兩種優惠方案，這兩種方案應付話費(元)與通話時間(分鐘)之間關系如下圖(圖3-2-2-3)所示(其中MN∥CD).

(1)分別求出方案A、B應付話費(元)與通話時間x(分鐘)的函數表達式f(x)和g(x)；

(2)假如你是一位電信局推銷人員，你是如何幫助客戶選擇A、B兩種優惠方案？并說明理由.

圖3-2-2-3

解：(1)先列出兩種優惠方案所對應的函數解析式：

(2)當f(x)=g(x)時,x-10=50,

∴x=200.∴當客戶通話時間為200分鐘時，兩種方案均可;

當客戶通話時間為0≤x＜200分鐘，g(x)>f(x),故選擇方案A；

當客戶通話時間為x>200分鐘時，g(x)<f(x),故選方案B.

點評：在解決實際問題過程中，函數圖象能夠發揮很好的作用，因此，我們應當注意提高讀圖的能力.另外，本例題用到了分段函數，分段函數是刻畫現實問題的重要模型.

例2人口問題是當今世界各國普遍關注的問題.認識人口數量的變化規律，可以為有效控制人口增長提供依據.早在1798年，英國經濟學家馬爾薩斯(T.R.Malthus,1766~1834)就提出了自然狀態下的人口增長模型：

y=y0ert,

其中t表示經過的時間，y0表示t=0時的人口數，r表示人口的年平均增長率.

下表是1950～1959年我國的人口數據資料：

(1)如果以各年人口增長率的平均值作為我國這一時期的人口增長率(精確到0.000 1),用馬爾薩斯人口增長模型建立我國在這一時期的具體人口增長模型，并檢驗所得模型與實際人口數據是否相符；

(2)如果按表的增長趨勢，大約在哪一年我國的人口達到13億？

解：(1)設1951～1959年的人口增長率分別為r1,r2,r3,…,r9.

由55196(1+r1)=56300，

可得1951年的人口增長率為r1≈0.020 0.

同理,可得r2≈0.0210，r3≈0.0229，r4≈0.0250，r5≈0.0197，r6≈0.0223，r7≈0.0276，

r8≈0.0222，r9≈0.0184.

于是，1950～1959年期間，我國人口的年平均增長率為

r=(r1+r2+…+r9)÷9≈0.0221.

令y0=55 196，則我國在1951～1959年期間的人口增長模型為

y=55 196e0.0221t,t∈N.

根據表中的數據作出散點圖，并作出函數y=55 196e0.0221t(t∈N)的圖象(圖3-2-2-4).

圖3-2-2-4

由圖可以看出，所得模型與1950～1959年的實際人口數據基本吻合.

(2)將y=130000代入y=55 196e0.0221t,

由計算器可得t≈38.76.

所以，如果按表的增長趨勢，那么大約在1950年后的第39年(即1989年)我國的人口就已達到13億.由此可以看到，如果不實行計劃生育，而是讓人口自然增長，今天我國將面臨難以承受的人口壓力.

變式訓練

一種放射性元素,最初的質量為500 g,按每年10%衰減.

(1)求t年后,這種放射性元素質量ω的表達式;

(2)由求出的函數表達式,求這種放射性元素的半衰期(剩留量為原來的一半所需的時間叫做半衰期).(精確到0.1.已知lg2=0.301 0,lg3=0.477 1)

解：(1)最初的質量為500 g.

經過1年后,ω=500(1－10%)=500×0.91;

經過2年后,ω=500×0.9(1－10%)=500×0.92;

由此推知,t年后,ω=500×0.9t.

(2)解方程500×0.9t=250,則0.9t=0.5,

所以

即這種放射性元素的半衰期約為6.6年.

知能訓練

某電器公司生產A型電腦.1993年這種電腦每臺平均生產成本為5 000元,并以純利潤20%確定出廠價.從1994年開始,公司通過更新設備和加強管理,使生產成本逐年降低.到1997年,盡管A型電腦出廠價僅是1993年出廠價的80%,但卻實現了50%純利潤的高效益.

(1)求1997年每臺A型電腦的生產成本;

(2)以1993年的生產成本為基數,求1993年至1997年生產成本平均每年降低的百分數.(精確到0.01,以下數據可供參考:=2.236,=2.449)

活動：學生先思考或討論，再回答.教師根據實際，可以提示引導.

出廠價=單位商品的成本+單位商品的利潤.

解：(1)設1997年每臺電腦的生產成本為x元,依題意,得

x(1+50%)=5000×(1+20%)×80%,解得x=3200(元).

(2)設1993年至1997年間每年平均生產成本降低的百分率為y,則依題意,得5000(1－y)4=3200,

即1997年每臺電腦的生產成本為3 200元,1993年至1997年生產成本平均每年降低11%.

課堂小結

本節重點學習了函數模型的實例應用，包括一次函數模型、二次函數模型、分段函數模型等；另外還應關注函數方程不等式之間的相互關系.

活動：學生先思考或討論，再回答.教師提示、點撥，及時評價.

引導方法：從基本知識和基本技能兩方面來總結.

作業

課本P107習題3.2A組5、6.

板書設計

教學反思