高一數(shù)學(xué)教案：《基于APOS理論的函數(shù)概念》教學(xué)設(shè)計(jì)(4)

　　（七）舉例應(yīng)用，深化目標(biāo)[圖式（S）]

　　例3．已知函數(shù)

　　（1）畫出函數(shù)的圖象；（2）求的值；（3）你從（2）中發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？（4）求函數(shù)的值域。

　　為了讓學(xué)生體會到從特殊到一般的思想方法，同時(shí)也后面研究函數(shù)的性質(zhì)（奇函數(shù)）作準(zhǔn)備。

　　教師引導(dǎo)學(xué)生解決此題的關(guān)鍵點(diǎn)，并進(jìn)行變式：

　　變式1：已知，① 當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；② 當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域。

　　變式2：已知，① 當(dāng)函數(shù)值域?yàn)闀r(shí)，求函數(shù)定義域；② 當(dāng)函數(shù)值域?yàn)闀r(shí)，求函數(shù)定義域。

　　變式3：（1）已知，求的值。（2）已知，求函數(shù).

　　變式4：已知，，求①的解析式；②的解析式；③的解析式。

　　以一個(gè)問題為背景，一題多用，一題多變，由淺入深，體現(xiàn)梯度，使不同程度的學(xué)生都有發(fā)展。通過一組精心設(shè)計(jì)的問題鏈來引導(dǎo)和激發(fā)學(xué)生的參與意識、創(chuàng)新意識，培養(yǎng)學(xué)生探究問題的能力，從而提升學(xué)生的思維品質(zhì)。借助三個(gè)變式層層深入，是理論到實(shí)踐的升華，使概念深化、強(qiáng)化、類化的作用與含義印入心底，得到再次認(rèn)同，初步掌握與應(yīng)用能力也就自然形成了。

　　（八）練習(xí)交流，反饋鞏固

　　以學(xué)生回答、板演的形式進(jìn)行課堂練習(xí)，充分發(fā)揮師與生、生與生的互動，以教師、學(xué)生相互交流來鞏固本節(jié)課的學(xué)習(xí)。

　　（九）學(xué)生歸納小結(jié)，教師評價(jià)

　　以同桌之間一人小結(jié)一人傾聽的方式，以四人為一小組進(jìn)行小組討論，對本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容進(jìn)行自主小結(jié)，教師及時(shí)進(jìn)行歸納總結(jié)：1．函數(shù)的近代定義與傳統(tǒng)定義的異同點(diǎn)；2．集合與函數(shù)的聯(lián)系、區(qū)別；3．函數(shù)的三要素；4．?dāng)?shù)形結(jié)合的思想。

　　三、幾點(diǎn)啟示

　　APOS理論對學(xué)生的函數(shù)概念的理解作出了分層分析，可以預(yù)測學(xué)生已經(jīng)在多大程度上對性質(zhì)作出了心理建構(gòu)，從而推知學(xué)生對函數(shù)概念的掌握起點(diǎn)。基于APOS理論的理念設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)性質(zhì)教學(xué)，實(shí)質(zhì)是“以學(xué)生為主體”的理念在課堂探究中的體現(xiàn)，有利于學(xué)生理解函數(shù)的概念。

　　教學(xué)中教師要關(guān)注數(shù)學(xué)本身的特點(diǎn)，更重要的是要關(guān)注課堂上學(xué)生的掌握概念的思維狀況，將數(shù)學(xué)知識和學(xué)生探究活動有機(jī)結(jié)合，要求教師要重視學(xué)生的學(xué)習(xí)活動，讓學(xué)生親身創(chuàng)設(shè)問題情境。數(shù)學(xué)教師要意識到：一個(gè)數(shù)學(xué)概念由“過程”到“對象”的建立, 有時(shí)既困難又漫長, 需要經(jīng)過多次反復(fù),循序漸進(jìn),螺旋上升, 直至學(xué)生真正理解,“對象”的建立要注意簡練的文字形式和符號表示,使學(xué)生在頭腦中建立起數(shù)學(xué)知識的直觀結(jié)構(gòu)形象。

　　學(xué)生對于函數(shù)概念的認(rèn)識不是一蹴而就的，這就要要教師在教學(xué)過程中整體處理教材，把握教學(xué)的度，結(jié)合具體的問題有意識地在各個(gè)階段的學(xué)習(xí)過程中，幫助學(xué)生逐步形成函數(shù)完整的知識鏈。在往后的教學(xué)中要注意學(xué)生對知識的圖式的建立, 即加強(qiáng)知識間的聯(lián)系和應(yīng)用,如在講解具體的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)時(shí)，可以以具體函數(shù)為載體，在一般函數(shù)概念的指導(dǎo)下對其性質(zhì)進(jìn)行研究，體現(xiàn)了“具體──抽象──具體”的過程，是函數(shù)概念理解的深化。又如，在講解不等式、方程的求解及應(yīng)用后，可以與函數(shù)相結(jié)合，進(jìn)行對比，從而加深對函數(shù)概念的理解，幫助學(xué)生在頭腦中建立起完整的數(shù)學(xué)知識的心理圖式。

　　當(dāng)然，APOS 理論的四個(gè)階段并非一定體現(xiàn)在一堂數(shù)學(xué)課當(dāng)中, 也不是每一課都必須遍歷四個(gè)階段, 它適用于數(shù)學(xué)概念在學(xué)生頭腦中建立的一段時(shí)期,并不局限于某一堂課。比如，函數(shù)圖式的形成是需要一個(gè)長期實(shí)踐與反思。有些學(xué)生需要在接觸了大量的具體的函數(shù)模型以后，甚至在學(xué)習(xí)了函數(shù)的復(fù)合、微分、積分以后，才能漸漸地實(shí)現(xiàn)從“過程”到“對象”的理解，再由“對象”到“圖式”的發(fā)展。作為老師，我們應(yīng)該理解學(xué)生的實(shí)際，作為數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程，也是允許學(xué)生有折返的現(xiàn)象。