高二數(shù)學(xué)考試中導(dǎo)數(shù)常見易錯考點總結(jié)

2011-03-22 15:03:04高考研究中心文章作者：郭化楠

　　高二數(shù)學(xué)的第二學(xué)期，學(xué)生將完成所有基礎(chǔ)知識內(nèi)容的學(xué)習(xí)。對于絕大多數(shù)的理科生而言，這個學(xué)期的前半學(xué)期學(xué)習(xí)的是選修2-2這本書，所以很自然的，這本書中的重點--導(dǎo)數(shù)將會成為這次期中考試的核心知識點。

　　導(dǎo)數(shù)這部分內(nèi)容對于中學(xué)生來說比較抽象，加之新課改更強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的工具性，因此很多學(xué)生學(xué)完導(dǎo)數(shù)，對導(dǎo)數(shù)的運算法則掌握的比較好--這也是必要的，而對于導(dǎo)數(shù)的基本概念、應(yīng)用中的常見易錯點掌握的并不熟練。本文不會面面俱到的講導(dǎo)數(shù)的每種考察方式，而是列舉幾個學(xué)生容易忽略的易錯考點，已達(dá)到查漏補(bǔ)缺的目的。

　　在歷次期中考試中，學(xué)生在導(dǎo)數(shù)這部分知識常見的易錯點包括：

　　一、對導(dǎo)數(shù)基本概念的理解。

　　導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)是"平均變化率的極限"，也就是，而這里的形式并不重要，只要是是"相同區(qū)間"上的"函數(shù)值之差"比上"自變量"之差，就是導(dǎo)數(shù)。如果能理解清楚這一點，再看題目常出的、之類的形式，就感覺比較清晰了。

　　二、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)計算錯誤。

　　對于復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的規(guī)則，同學(xué)大多掌握的不錯，但題目中真正出現(xiàn)復(fù)合函數(shù)的時候，計算還是會出問題。問題出在哪，不在于不會算，而是沒有發(fā)現(xiàn)這是復(fù)合函數(shù)。

　　課標(biāo)要求學(xué)生掌握形如f(ax+b)的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)規(guī)則，這一點已經(jīng)限制的很死板了。所以當(dāng)題目中的函數(shù)比較符合這個形式的時候，同學(xué)大多也是認(rèn)的出來的，比如這樣的函數(shù)。反而是內(nèi)層函數(shù)更簡單的時候，會被學(xué)生忽略，例如這樣的函數(shù)。所以同學(xué)在求導(dǎo)的時候，一定要刻意觀察這一點，識別隱蔽在這里的陷阱。

　　三、導(dǎo)數(shù)與單調(diào)區(qū)間的關(guān)系。

　　利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的的單調(diào)區(qū)間是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中最基本的題型，按說本不是什么難點。但是這里有一個最大的麻煩，就是導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性不是充要條件。因此，什么時候?qū)?img alt="" src="https://files.eduuu.com/img/2011/03/22/145741_4d88486532d49.jpg" style="width: 62px; height: 23px;" />，又在什么時候應(yīng)該寫是很多同學(xué)犯迷糊的地方。

　　這里需要注意一個要點，我們每一步運算或者推導(dǎo)，得到的條件其實都是原條件的必要非充分條件，想清楚這一點，面對這個問題就清晰了。

　　如果原題讓我們"求"函數(shù)的增區(qū)間，我們就用增區(qū)間的充分非必要條件，也就是來求范圍；如果原題給了我們函數(shù)增區(qū)間的性質(zhì)，我們就利用增區(qū)間的必要非充分條件，也就是來解題。

　　四、含參導(dǎo)數(shù)問題。

　　導(dǎo)數(shù)這部分的大題，簡單題通常很常規(guī)，給一個不含參的函數(shù)，求單調(diào)區(qū)間和極值，也可能再利用極值分析一下函數(shù)根的分布。而比較難的大題，往往是考察含參函數(shù)的性質(zhì)。

　　含參的導(dǎo)數(shù)問題，又有兩種典型的考法。

　　一種是考察函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，近兩年北京高考題的導(dǎo)數(shù)大題就是這么考察的。考察的重點在于對參數(shù)進(jìn)行分類討論。這時候往往先考慮現(xiàn)有條件對參數(shù)有沒有限制，如果有限制，一定要在限制范圍內(nèi)分類討論。

　　另一種是給定函數(shù)在某區(qū)間的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍。這種含參不等式的問題，往往可以通過分離變量或類似的方法，轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題。而"恒成立"的含義，一定是比"比最大的還大"或"比最小的還小"。因此恒成立問題往往又可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值的問題。而給定函數(shù)求最值，又是同學(xué)學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的基本功。所以，這類題目，只要思路清晰，往往也并不難處理。

　　導(dǎo)數(shù)這部分知識雖然學(xué)生以前并不熟悉，又比較抽象。但是整體而言，期中考試的考察不會太難，題目的結(jié)構(gòu)和形式往往同學(xué)在是日常練習(xí)中所熟悉的。因此，把常見的易錯點進(jìn)行梳理和分析，考試時做到心中有數(shù)，就能讓自己的成績有所突破。