代數式的變形（整式與分式）

       在化簡、求值、證明恒等式（不等式）、解方程（不等式）的過程中，常需將代數式變形，現結合實例對代數式的基本變形，如配方、因式分解、換元、設參、拆項與逐步合并等方法作初步介紹.

1．  配方

在實數范圍內，配方的目的就是為了發現題中的隱含條件，以便利用實數的性質來解題.

例1          （1986年全國初中競賽題）設a、b、c、d都是整數，且m=a²+b²,n=c²+d²,mn也可以表示成兩個整數的平方和，其形式是______.

解mn=(a²+b²)(c²+d²)

=a²c²+2abcd+b²d²+a²d²+b²c²-2abcd

=(ac+bd)²+(ad-bc)²

=(ac-bd)²+(ad+bc)²,

所以，mn的形式為(ac+bd)²+(ad-bc)²或（ac-bd）²+(ad+bc)².

例2（1984年重慶初中競賽題）設x、y、z為實數，且

(y-z)²+(x-y)²+(z-x)²

=(y+z-2x)²+(z+x-2y)²+(x+y-2z)².

求的值.

解  將條件化簡成

2x²+2y²+2z²-2xy-2x²-2yz=0

∴(x-y)²+(x-z)²+(y-z)²=0

∴x=y=z,∴原式=1.

2.因式分解

前面已介紹過因式分解的各種典型方法,下面再舉幾個應用方面的例子.

例3(1987年北京初二數學競賽題)如果a是x²-3x+1=0的根,試求

的值.

解  ∵a為x²-3x+1=0的根,

∴ a²-3a+1=0,,且=1.

原式

說明:這里只對所求式分子進行因式分解,避免了解方程和復雜的計算.

3.換元

換元使復雜的問題變得簡潔明了.

例4 設a+b+c=3m,求證:

(m-a)³+(m-b)³+(m-c)³-3(m-a)(m-b)(m-c)=0.

證明 令p=m-a,q=m-b,r=m-c則

p+q+r=0.

P³+q³+r³-3pqr=(p+q+r)(p²+q²+r²-pq-qr-rp)=0

∴p³+q³+r³-3pqr=0

即  (m-a)³+(m-b)³+(m-c)³-3(m-a)(m-b)(m-c)=0

例5 (民主德國競賽試題) 若,試比較A、B的大小.

解 設 則

.

∵2x＞y     ∴2x-y＞0, 又y＞0,

可知  ∴A＞B.

4.設參

當已知條件以連比的形式出現時,可引進一個比例系數來表示這個連比.

例6 若求x+y+z的值.

解  令

則有   x=k(a-b), y=(b-c)k z=(c-a)k,

∴x+y+z=(a-b)k+(b-c)k+(c-a)k=0.

例7 已知a、b、c為非負實數，且a²+b²+c²=1,

,求a+b+c的值.

解  設 a+b+c=k

則a+b=k-c，b+c=k-a,a+c=k-b.

由條件知

即   

∴a²k-a³+b²k-b³+c²k-c³=-3abc,

∴(a²+b²+c²)k+3abc=a³+b³+c³.

∵a²+b²+c²=1,

∴k=a³+b³+c³-3abc

=(a+b)³-3a²b-3ab²+c³-3abc

=(a+b+c)[(a+b)²+c²-(a+b)c]-3ab(a+b+c),

=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca),

∴k=k(a²+b²+c²-ab-bc-ac),

∴k(a²+b²+c²-ab-bc-ca-1)=0,

∴k(-ab-bc-ac)=0.

若K=0, 就是a+b+c=0.

若-ab-bc-ac=0,

即 (a+b+c)²-(a²+b²+c²)=0,

∴(a+b+c)²=1,

∴a+b+c=±1

綜上知a+b+c=0或a+b+c=±1

5.“拆”、“并”和通分

下面重點介紹分式的變形：

（1） 分離分式  為了討論某些用分式表示的數的性質，有時要將一個分式表示為一個整式和一個分式的代數和.

例8（第1屆國際數學競賽試題）證明對于任意自然數n，分數皆不可約.,

證明  如果一個假分數可以通約，化為帶分數后，它的真分數部分也必定可以通約.

而    

顯然不可通約，故不可通約，從而也不可通約.

（2） 表示成部分分式  將一個分式表示為部分分式就是將分式化為若干個真分式的代數和.

例9 設n為正整數，求證：

①   ②

證明  令

通分，

比較①、②兩式，得A-B=0，且A+B=1，即A=B=.

∴

令k=1,2,…,n得 

(3)通分  通分是分式中最基本的變形,例9的變形就是以通分為基礎的,下面再看一個技巧性較強的例子.

例10(1986年冬令營賽前訓練題)

已知

求證:.

證明  

6.其他變形

例11 (1985年全國初中競賽題)已知x(x≠0，±1)和1兩個數，如果只許用加法、減法和1作被除數的除法三種運算（可用括號），經過六步算出x².那么計算的表達式是______.

解   x²=x(x+1)-x

或  x²=x(x-1)+x

例12 （第3屆美國中學生數學競賽題）設a、b、c、d都是正整數，且a⁵=b⁴,c³=d²,c-a=19,求d-b.

解  由質因數分解的唯一性及a⁵=b⁴,c³=d²,可設a=x⁴,c=y²,故

19=c-a=(y²-x⁴)=(y-x²)(y+x²)

   解得  x=3.  y=10.   ∴   d-b=y³-x⁵=757

                           練習 七

1選擇題

（1）（第34屆美國數學競賽題）把相乘，其乘積是一個多項式，該多項式的次數是（  ）

（A）2         （B）3          （C）6            （D）7       （E）8

（3） 已知則的值是（  ）.

(A)1      (B)0     (C)-1     (D)3

（3）（第37屆美國中學數學競賽題）假定x和y是正數并且成反比，若x增加了p%，則y減少了（  ）.

（A）p%     (B)%        (C)%          (D)%   (E)%

2填空題

（1）（x-3）⁵=ax⁵+bx⁴+cx³+dx²+ex+f，則a+b+c+d+e+f=________,  b+c+d+e=_______.

(2)若=_____.

(3)已知y₁=2x,y₂=,則y₁y₁₉₈₆=______

3若（x-z）²-4(x-y)(y-z)=0,試求x+z與y的關系.

4（1985年寧夏初中數學競賽題）把寫成兩個因式的積,使它們的和為，求這兩個式子.

5.若x+3y+5z=0,2x+4y+7z=0.求的值.

6.已知x,y,z為互不相等的三個數,求證

7已知a²+c²=2b²,求證

8.設有多項式f(x)=4x⁴-4px³+4qx²+2q(m+1)x+(m+1)²,求證:

如果f(x)的系數滿足p²-4q-4(m-1)=0,那么,f(x)恰好是一個二次三項式的平方.

9.設(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)=(a+b+c+d)(bcd+cda+dab+abc).求證:ac=bd.

練習七

1.C.C.E

2.(1)-32,210    (2)    (3)2

3.略.

4.

5.    6.略,    7.略.

8.∵p²-4q-4(m+1)=0,   ∴4q=p²-4(m+1)=0,

∴f(x)

=4x⁴-4px³+[p²-4(m+1)]x²+2p·(m+1)x+(m+1)²

=4x⁴+p²x²+(m+1)²-4px³-4(m+1)x²+2p(m+1)x

=[2x²-px-(m+1)]².

9.令a+b=p,c+d=q,由條件化為

pq(b+c)(d+a)=(p+q)(cdp+adq),

展開整理得cdp²-(ac+bd)+pq+abq²=0,

即(cp-bq)(dp-aq)=0.

于是cp=bq或dp=aq,即c(a+b)=b(c+a)或d(a+b)=a(c+d).

均可得出ac=bd.